함께 배우는 수업 · 과학

전자기학: 맥스웰 방정식의 미분형

고전 전자기학의 금자탑! 전기장과 자기장의 원천 및 시공간적 상호 유도를 벡터 미적분학 연산자(발산 div, 회전 curl)로 완벽히 통합한 맥스웰 4대 방정식과 전자기파 파동방정식 유도를 다룹니다.

이 수업에서 해 볼 일

  • 전자기장의 원천과 변화의 관계를 맥스웰 방정식에서 읽는다

먼저 알면 좋은 것: 벡터 미적분학(발산 정리와 스토크스 정리) · 쿨롱 법칙과 패러데이·앙페르 법칙

오늘의 목표

가입 없이 시작할 수 있어요. 설명을 읽고, 함께 연습한 뒤, 처음 보는 문제에서 직접 확인합니다.

판단 과정과 비교 사례

맥스웰 방정식은 장의 발산과 회전을 원천 및 시간 변화와 연결한다. 전기 가우스 법칙은 전하와 전기선속을, 자기 가우스 법칙은 순자기선속이 0임을 다룬다.패러데이 법칙은 변하는 자기장과 회전하는 전기장을 연결한다. 암페어-맥스웰 법칙은 전류뿐 아니라 시간에 따라 변하는 전기장도 자기장과 연결해 진공에서 파동의 전파를 설명한다.진공 평면 전자기파에서 전기장·자기장·진행 방향은 서로 수직이다. 전파 속력은 1/√(ε₀μ₀)로 정해지며 장이 없는 상태와 발산이 0인 상태를 혼동하지 않는다.

1. 맥스웰 4대 방정식의 미분형과 적분형 완벽 대응

제임스 클러크 맥스웰(J. C. Maxwell)은 전기와 자기에 관한 실험 법칙들을 4개의 우아한 편미분방정식으로 통합하였습니다. 가우스의 발산 정리(∮F⃗⋅dA⃗=∫(∇⋅F⃗)dV\oint \vec{F}\cdot d\vec{A} = \int (\nabla\cdot\vec{F})dV)와 스토크스의 회전 정리(∮F⃗⋅dl⃗=∫(∇×F⃗)⋅dA⃗\oint \vec{F}\cdot d\vec{l} = \int (\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{A})를 통해 적분형과 미분형은 수학적으로 완전히 동치입니다.
방정식 명칭미분형 (Differential Form, 진공)적분형 (Integral Form)핵심 물리적 의미
1. 전기 가우스 법칙
∇⋅E⃗=ρε0\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}
∮SE⃗⋅dA⃗=Qencε0\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}
전하 밀도 ρ\rho가 전기장 발산(Divergence)의 원천임 (++전하에서 발산, −-전하로 수렴)
2. 자기 가우스 법칙
∇⋅B⃗=0\nabla \cdot \vec{B} = 0
∮SB⃗⋅dA⃗=0\oint_S \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0
자연계에 자기 홀극(Magnetic monopole)은 존재하지 않으며, 자기력선은 항상 닫힌 곡선임
3. 패러데이 유도 법칙
∇×E⃗=−∂B⃗∂t\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
∮CE⃗⋅dl⃗=−dΦBdt\oint_C \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\Phi_B}{dt}
시간에 따라 변하는 자기장이 공간에 소용돌이치는 회전(Curl) 전기장을 유도함
4. 앙페르-맥스웰 법칙
∇×B⃗=μ0J⃗+μ0ε0∂E⃗∂t\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}
∮CB⃗⋅dl⃗=μ0Ienc+μ0ε0dΦEdt\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enc}} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}
전도 전류(J⃗\vec{J})뿐만 아니라 변하는 전기장(변위전류)도 자기장을 유도함
맥스웰의 가장 위대한 업적은 4번째 식에 '변위전류 밀도(J_d = ε₀ ∂E/∂t)' 항을 추가한 것입니다! 이 항이 없었더라면 전하 보존 법칙(연속 방정식)이 깨질 뿐만 아니라 전자기파의 존재 자체를 유도할 수 없었습니다.

2. 변위전류(Displacement Current)와 전자기파 파동방정식 유도

전하와 전류가 없는 진공 공간(ρ=0,J⃗=0\rho = 0, \vec{J} = 0)에서 패러데이 법칙의 양변에 회전(∇×\nabla \times) 연산자를 취하고 벡터 항등식 ∇×(∇×E⃗)=∇(∇⋅E⃗)−∇2E⃗\nabla \times (\nabla \times \vec{E}) = \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E}를 적용해 봅시다:
∇×(∇×E⃗)=−∂∂t(∇×B⃗)\nabla \times (\nabla \times \vec{E}) = -\frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \vec{B})
진공에서 ∇⋅E⃗=0\nabla \cdot \vec{E} = 0이고 ∇×B⃗=μ0ε0∂E⃗∂t\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}이므로 이를 대입하면 3차원 전자기파 파동방정식(Wave equation)이 탄생합니다:
∇2E⃗=μ0ε0∂2E⃗∂t2,∇2B⃗=μ0ε0∂2B⃗∂t2\nabla^2 \vec{E} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}, \qquad \nabla^2 \vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}
이를 고전 파동방정식 ∇2u=1v2∂2u∂t2\nabla^2 u = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}과 비교하면, 진공 중에서 전자기파가 전파되는 속도 cc를 유전율(ε0\varepsilon_0)과 투자율(μ0\mu_0)만으로 정확히 계산할 수 있습니다:
c=1μ0ε0≈2.998×108 m/s(빛의 속도와 완벽히 일치!)c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \approx 2.998 \times 10^8\,\text{m/s} \quad (\text{빛의 속도와 완벽히 일치!})

예제로 살펴보기

진공 중에서 +z 방향으로 진행하는 평면 전자기파의 전기장이 E(z, t) = E₀ cos(kz - ωt) x̂ (즉, x축 방향 진동)으로 주어져 있습니다. 패러데이 법칙(∇ × E = -∂B/∂t)을 이용하여 자기장 B(z, t)의 방향과 진폭 B₀를 E₀와 빛의 속도 c로 나타내세요.
  1. 1) 전기장 E가 x 성분만 가지며 z의 함수이므로, 회전(Curl)을 계산하면: ∇ × E = (∂E_x / ∂z) ŷ = -k E₀ sin(kz - ωt) ŷ 가 됩니다. 2) 패러데이 법칙 ∇ × E = -∂B/∂t 에 대입하면: ∂B/∂t = k E₀ sin(kz - ωt) ŷ 이고, 이를 시간 t에 대해 적분하면: B(z, t) = (k / ω) E₀ cos(kz - ωt) ŷ 가 됩니다. 3) 파동의 위상 속도 관계식 ω / k = c 이므로, k / ω = 1 / c 입니다. 4) 따라서 자기장은 '+y 방향(ŷ)'으로 진동하며, 자기장의 진폭은 B₀ = E₀ / c 입니다. (E × B의 방향인 x̂ × ŷ = ẑ 가 곧 파동의 진행 방향이 됩니다!)
확인: 가우스 법칙(∇·E = ρ/ε₀)은 전하가 전기장의 원천임을, 자기 가우스 법칙(∇·B = 0)은 자기 홀극이 존재하지 않음을 나타낸다.

3. 포인팅 벡터(Poynting Vector)와 자주 틀리는 오개념

전자기파는 매질 없이도 전기장(E⃗\vec{E})과 자기장(B⃗\vec{B})이 서로가 서로를 유도하며 공간으로 에너지를 실어 나릅니다. 이때 단위 시간당 단위 면적을 수직으로 통과하는 전자기파의 에너지 흐름(전력 밀도)을 나타내는 벡터를 포인팅 벡터(S⃗\vec{S})라고 합니다:
S⃗=1μ0(E⃗×B⃗)[단위: W/m2]\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} (\vec{E} \times \vec{B}) \quad [\text{단위: } \text{W/m}^2]
- 전자기파에서 E⃗\vec{E}와 B⃗\vec{B}, 그리고 진행 방향(k⃗\vec{k} 또는 S⃗\vec{S})은 서로 직교(E⃗⊥B⃗⊥k⃗\vec{E} \perp \vec{B} \perp \vec{k})하는 횡파(Transverse wave)입니다. 자주 틀리는 오개념 정리: 1. "전자기파에서 전기장 E⃗\vec{E}가 최대일 때 자기장 B⃗\vec{B}로 전환되므로 B⃗\vec{B}는 00이다(위상이 90∘90^\circ 차이 난다)?" →\rightarrow 학부생들이 가장 많이 틀리는 오개념입니다! 진공 중을 진행하는 평면 전자기파에서 전기장 E⃗\vec{E}와 자기장 B⃗\vec{B}는 위상이 정확히 일치(In-phase)합니다! 즉, E⃗\vec{E}가 최대인 위치·시각에서 B⃗\vec{B}도 동시에 최대가 되고, 00일 때 함께 00이 됩니다. 2. "축전기 극판 사이에는 전선이 끊겨 있으므로 자기장이 전혀 생기지 않는다?" →\rightarrow 충전 중인 축전기 극판 사이에는 시간에 따라 전기장이 변하므로 변위전류가 흘러 도선 주위와 똑같이 자기장이 유도됩니다.정전기장(시간에 따라 변하지 않는 전기장)에서는 ∇ × E = 0 이므로 전기장이 보존장(전위 V 정의 가능, E = -∇V)이지만, 자기장이 시간에 따라 변하는 동적 상황에서는 ∇ × E = -∂B/∂t ≠ 0 이므로 전기장이 더 이상 보존장이 아니게 됩니다!

참고 근거와 확인 범위

설명·예제·문제 구성 및 오류 수정 책임: 프리런. 위 자료는 표시한 주제를 확인하거나 더 읽기 위한 근거이며, 외부 기관의 공식 수업이나 감수본을 뜻하지 않습니다.

참고 자료 연결 점검: 2026-11-02. 제작 방식·검수 범위와 수정 기록에서 확인 범위를 볼 수 있습니다. 오류는 상단의 의견 보내기 또는 contact@freelearn.io로 알려 주세요.

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