과학>물리 12>14. 맥스웰 방정식의 미분형과 전자기파
개념 정리

전자기학: 맥스웰 방정식의 미분형

단원 개요
고전 전자기학의 금자탑! 전기장과 자기장의 원천 및 시공간적 상호 유도를 벡터 미적분학 연산자(발산 div, 회전 curl)로 완벽히 통합한 맥스웰 4대 방정식과 전자기파 파동방정식 유도를 다룹니다.
선수 개념
필수 키워드:가우스의 발산 정리스토크스의 회전 정리전기 가우스 법칙자기 가우스 법칙패러데이 유도 법칙시간에 따라 변하는 자기장회전(Curl) 전기장을 유도앙페르-맥스웰 법칙변하는 전기장(변위전류)포인팅 벡터(S⃗\vec{S})
이 단원의 내용
1맥스웰 4대 방정식의 미분형과 적분형 완벽 대응2변위전류(Displacement Current)와 전자기파 파동방정식 유도3포인팅 벡터(Poynting Vector)와 자주 틀리는 오개념
1

맥스웰 4대 방정식의 미분형과 적분형 완벽 대응

제임스 클러크 맥스웰(J. C. Maxwell)은 전기와 자기에 관한 실험 법칙들을 4개의 우아한 편미분방정식으로 통합하였습니다. 가우스의 발산 정리(∮F⃗⋅dA⃗=∫(∇⋅F⃗)dV\oint \vec{F}\cdot d\vec{A} = \int (\nabla\cdot\vec{F})dV)와 스토크스의 회전 정리(∮F⃗⋅dl⃗=∫(∇×F⃗)⋅dA⃗\oint \vec{F}\cdot d\vec{l} = \int (\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{A})를 통해 적분형과 미분형은 수학적으로 완전히 동치입니다.

방정식 명칭미분형 (Differential Form, 진공)적분형 (Integral Form)핵심 물리적 의미
1. 전기 가우스 법칙
∇⋅E⃗=ρε0\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}
∮SE⃗⋅dA⃗=Qencε0\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}
전하 밀도 ρ\rho가 전기장 발산(Divergence)의 원천임 (++전하에서 발산, −-전하로 수렴)
2. 자기 가우스 법칙
∇⋅B⃗=0\nabla \cdot \vec{B} = 0
∮SB⃗⋅dA⃗=0\oint_S \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0
자연계에 자기 홀극(Magnetic monopole)은 존재하지 않으며, 자기력선은 항상 닫힌 곡선임
3. 패러데이 유도 법칙
∇×E⃗=−∂B⃗∂t\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
∮CE⃗⋅dl⃗=−dΦBdt\oint_C \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\Phi_B}{dt}
시간에 따라 변하는 자기장이 공간에 소용돌이치는 회전(Curl) 전기장을 유도함
4. 앙페르-맥스웰 법칙
∇×B⃗=μ0J⃗+μ0ε0∂E⃗∂t\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}
∮CB⃗⋅dl⃗=μ0Ienc+μ0ε0dΦEdt\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enc}} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}
전도 전류(J⃗\vec{J})뿐만 아니라 변하는 전기장(변위전류)도 자기장을 유도함
핵심 원리
맥스웰의 가장 위대한 업적은 4번째 식에 '변위전류 밀도(J_d = ε₀ ∂E/∂t)' 항을 추가한 것입니다! 이 항이 없었더라면 전하 보존 법칙(연속 방정식)이 깨질 뿐만 아니라 전자기파의 존재 자체를 유도할 수 없었습니다.
2

변위전류(Displacement Current)와 전자기파 파동방정식 유도

전하와 전류가 없는 진공 공간(ρ=0,J⃗=0\rho = 0, \vec{J} = 0)에서 패러데이 법칙의 양변에 회전(∇×\nabla \times) 연산자를 취하고 벡터 항등식 ∇×(∇×E⃗)=∇(∇⋅E⃗)−∇2E⃗\nabla \times (\nabla \times \vec{E}) = \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E}를 적용해 봅시다:

∇×(∇×E⃗)=−∂∂t(∇×B⃗)\nabla \times (\nabla \times \vec{E}) = -\frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \vec{B})

진공에서 ∇⋅E⃗=0\nabla \cdot \vec{E} = 0이고 ∇×B⃗=μ0ε0∂E⃗∂t\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}이므로 이를 대입하면 3차원 전자기파 파동방정식(Wave equation)이 탄생합니다:

∇2E⃗=μ0ε0∂2E⃗∂t2,∇2B⃗=μ0ε0∂2B⃗∂t2\nabla^2 \vec{E} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}, \qquad \nabla^2 \vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}

이를 고전 파동방정식 ∇2u=1v2∂2u∂t2\nabla^2 u = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}과 비교하면, 진공 중에서 전자기파가 전파되는 속도 cc를 유전율(ε0\varepsilon_0)과 투자율(μ0\mu_0)만으로 정확히 계산할 수 있습니다:

c=1μ0ε0≈2.998×108 m/s(빛의 속도와 완벽히 일치!)c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \approx 2.998 \times 10^8\,\text{m/s} \quad (\text{빛의 속도와 완벽히 일치!})
풀이

1) 전기장 E가 x 성분만 가지며 z의 함수이므로, 회전(Curl)을 계산하면:

∇ × E = (∂E_x / ∂z) ŷ = -k E₀ sin(kz - ωt) ŷ 가 됩니다.

2) 패러데이 법칙 ∇ × E = -∂B/∂t 에 대입하면:

∂B/∂t = k E₀ sin(kz - ωt) ŷ 이고, 이를 시간 t에 대해 적분하면:

B(z, t) = (k / ω) E₀ cos(kz - ωt) ŷ 가 됩니다.

3) 파동의 위상 속도 관계식 ω / k = c 이므로, k / ω = 1 / c 입니다.

4) 따라서 자기장은 '+y 방향(ŷ)'으로 진동하며, 자기장의 진폭은 B₀ = E₀ / c 입니다. (E × B의 방향인 x̂ × ŷ = ẑ 가 곧 파동의 진행 방향이 됩니다!)

3

포인팅 벡터(Poynting Vector)와 자주 틀리는 오개념

전자기파는 매질 없이도 전기장(E⃗\vec{E})과 자기장(B⃗\vec{B})이 서로가 서로를 유도하며 공간으로 에너지를 실어 나릅니다. 이때 단위 시간당 단위 면적을 수직으로 통과하는 전자기파의 에너지 흐름(전력 밀도)을 나타내는 벡터를 포인팅 벡터(S⃗\vec{S})라고 합니다:

S⃗=1μ0(E⃗×B⃗)[단위: W/m2]\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} (\vec{E} \times \vec{B}) \quad [\text{단위: } \text{W/m}^2]
•
전자기파에서 E⃗\vec{E}와 B⃗\vec{B}, 그리고 진행 방향(k⃗\vec{k} 또는 S⃗\vec{S})은 서로 직교(E⃗⊥B⃗⊥k⃗\vec{E} \perp \vec{B} \perp \vec{k})하는 횡파(Transverse wave)입니다.

자주 틀리는 오개념 정리:

1
"전자기파에서 전기장 E⃗\vec{E}가 최대일 때 자기장 B⃗\vec{B}로 전환되므로 B⃗\vec{B}는 00이다(위상이 90∘90^\circ 차이 난다)?" →\rightarrow 학부생들이 가장 많이 틀리는 오개념입니다! 진공 중을 진행하는 평면 전자기파에서 전기장 E⃗\vec{E}와 자기장 B⃗\vec{B}는 위상이 정확히 일치(In-phase)합니다! 즉, E⃗\vec{E}가 최대인 위치·시각에서 B⃗\vec{B}도 동시에 최대가 되고, 00일 때 함께 00이 됩니다.
2
"축전기 극판 사이에는 전선이 끊겨 있으므로 자기장이 전혀 생기지 않는다?" →\rightarrow 충전 중인 축전기 극판 사이에는 시간에 따라 전기장이 변하므로 변위전류가 흘러 도선 주위와 똑같이 자기장이 유도됩니다.
주의할 점
정전기장(시간에 따라 변하지 않는 전기장)에서는 ∇ × E = 0 이므로 전기장이 보존장(전위 V 정의 가능, E = -∇V)이지만, 자기장이 시간에 따라 변하는 동적 상황에서는 ∇ × E = -∂B/∂t ≠ 0 이므로 전기장이 더 이상 보존장이 아니게 됩니다!

핵심 요약

  • ✓
    가우스 법칙(∇·E = ρ/ε₀)은 전하가 전기장의 원천임을, 자기 가우스 법칙(∇·B = 0)은 자기 홀극이 존재하지 않음을 나타낸다.
  • ✓
    패러데이 법칙과 앙페르-맥스웰 법칙은 시변 자기장과 시변 전기장이 서로 공간적 회전(Curl)을 유도함을 보여준다.
  • ✓
    맥스웰 방정식으로부터 유도된 진공 중 전자기파의 속도 c = 1/√(μ₀ε₀)는 빛의 속도와 정확히 일치하여 빛이 전자기파임을 증명한다.
  • ✓
    평면 전자기파에서 전기장(E)과 자기장(B)은 서로 수직이며 동위상(In-phase)으로 진동하고, 에너지 흐름 방향은 포인팅 벡터(E × B)를 따른다.

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14. 맥스웰 방정식의 미분형과 전자기파 단원 연습 문제

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참고 근거와 확인 범위

설명·예제·문제 구성 및 오류 수정 책임: 프리런. 위 자료는 표시한 주제를 확인하거나 더 읽기 위한 근거이며, 외부 기관의 공식 수업이나 감수본을 뜻하지 않습니다.

참고 자료 연결 점검: 2026-11-02. 제작 방식·검수 범위와 수정 기록에서 확인 범위를 볼 수 있습니다. 오류는 상단의 의견 보내기 또는 contact@freelearn.io로 알려 주세요.