고체물리학: 에너지 밴드 갭 이론

고립된 단일 원자에서는 전자의 에너지 준위가 불연속적인 선($1s, 2s, 2p$ 등)으로 존재하지만, 아보가드로 수($\sim 10^{23}$개)만큼 많은 원자들이 격자 상수 $a$의 간격으로 모여 결정(Crystal)을 이루면 파울리 배타 원리와 오비탈 중첩에 의해 에너지 준위가 촘촘히 갈라져 연속적인 에너지 띠(Energy Band)를 형성합니다.

결정 내부의 이온핵들이 만드는 주기적 퍼텐셜 $V(x + a) = V(x)$ 하에서 시간 독립 슈뢰딩거 방정식의 고유해는 블로흐 정리(Bloch's Theorem)에 의해 평면파($e^{ikx}$)와 격자와 동일한 주기를 갖는 함수 $u_k(x)$의 곱으로 표현됩니다:

여기서 결정 운동량(Crystal momentum) $\hbar k$를 결정하는 파수 $k$는 주기성 때문에 제1 브릴루앙 영역(First Brillouin Zone, $-\frac{\pi}{a} \le k \le \frac{\pi}{a}$) 내부로 완전히 환원하여 기술할 수 있습니다.

자유 전자 모형($E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$)과 달리, 파수 $k$가 브릴루앙 영역의 경계인 $k = \pm \frac{n\pi}{a}$에 도달하면 드브로이 파장($\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2a}{n}$)이 브래그 반사 조건(Bragg reflection)을 만족하여 오른쪽 진행파와 왼쪽 반사파가 중첩된 두 종류의 정상파(Standing wave)를 형성합니다:

이 두 정상파의 정전기적 퍼텐셜 에너지 차이($\Delta E = 2|V_1|$)만큼 전자가 결코 존재할 수 없는 금지된 에너지 간격인 밴드 갭(Band Gap, $E_g$)이 열리게 됩니다. 또한 밴드 내 전자가 외부 전기장으로부터 힘을 받을 때 결정 격자와의 상호작용은 밴드 곡률($\frac{d^2 E}{dk^2}$)로 결정되는 유효 질량($m^*$) 하나로 완벽히 흡수됩니다:

자주 틀리는 오개념 정리: