개념 정리
2의 보수와 부호 있는 정수
단원 개요
컴퓨터가 음수를 표현하는 3가지 방식(부호화 절대값, 1의 보수, 2의 보수)을 비교하고, 덧셈기만으로 뺄셈을 수행하는 2의 보수 체계를 이해합니다.선수 개념
필수 키워드:부호화 절대값 (Sign-Magnitude)1의 보수 (One's Complement)2의 보수 (Two's Complement)을 더하여0이 유일하게 하나만 존재비트 정수 표현 범위 비교부호 없는 정수 (Unsigned)1의 보수 / 부호화 절대값2의 보수 (Signed)(8비트 기준
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음수 표현 방식의 진화: 부호화 절대값, 1의 보수, 2의 보수
부호 있는 정수(Signed Integer)에서는 가장 왼쪽의 최상위 비트(MSB, Most Significant Bit)를 부호 비트(0: 양수, 1: 음수)로 사용합니다.
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부호화 절대값 (Sign-Magnitude): MSB만 부호로 쓰고 나머지 비트는 양수의 절대값 그대로 표기합니다.
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예(8비트): , .
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한계: 과 두 개의 0이 존재하며, 양수와 음수를 더할 때 부호를 따로 비교해야 해서 하드웨어 회로가 복잡해집니다.
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1의 보수 (One's Complement): 양수의 모든 비트를 반전()시켜 음수를 표현합니다.
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예(8비트): .
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한계: 여전히 과 이 공존하며, 덧셈 시 최상위 자리올림수(Carry)를 다시 맨 끝자리에 더해주는 순환 자리올림(End-around Carry) 연산이 필요합니다.
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2의 보수 (Two's Complement): 1의 보수(전체 비트 반전)를 취한 뒤 을 더하여 음수를 표현합니다.
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예(8비트): .
학습 도움말
2의 보수를 구하는 초고속 지름길: 오른쪽 끝(LSB)에서부터 왼쪽으로 읽어가며 '첫 번째 1이 나올 때까지(그 1을 포함하여)'는 그대로 두고, 그 왼쪽의 모든 비트만 반전시키면 한 번에 2의 보수가 완성됩니다!2
2의 보수를 사용하는 결정적 이유와 표현 범위
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0이 유일하게 하나만 존재: 에 2의 보수를 취하면 가 되어, 캐리(1)가 버려지고 똑같은 이 됩니다. 이로 인해 남는 비트 패턴 을 음수 최솟값()으로 추가 할당할 수 있습니다.
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비트 정수 표현 범위 비교:
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부호 없는 정수 (Unsigned): (8비트 기준 )
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1의 보수 / 부호화 절대값: (8비트 기준 )
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2의 보수 (Signed): (8비트 기준 , 음수가 1개 더 많음!)
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가산기(Adder) 하나로 뺄셈 처리:
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이므로, 를 2의 보수로 변환해 더한 뒤 최상위 비트 밖으로 밀려난 자리올림수(Carry-out)를 단순 무시하면 뺄셈 결과가 정확히 도출됩니다.
풀이
1) 7 - 5 = 7 + (-5)로 변환합니다.
+7 = 00000111₂
+5 = 00000101₂ ➔ 1의 보수: 11111010₂ ➔ +1(2의 보수): 11111011₂ (-5)
2) 두 이진수를 더합니다:
00000111₂ + 11111011₂ = (1)00000010₂
8비트를 초과한 최상위 캐리 (1)을 버리면 00000010₂ = +2가 되어 뺄셈이 정확히 성립합니다.
3) 10010110₂는 MSB가 1이므로 음수입니다. 양수 절대값을 구하기 위해 다시 2의 보수를 취하면:
비트 반전(01101001₂) + 1 = 01101010₂ = 64 + 32 + 8 + 2 = 106.
따라서 10010110₂의 10진수 값은 -106입니다.
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정수 오버플로우(Overflow)와 산술 시프트 주의점
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정수 오버플로우(Arithmetic Overflow): 연산 결과가 할당된 비트 수의 표현 범위를 벗어나는 현상입니다.
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부호가 같은 두 수를 더했는데 결과의 부호 비트(MSB)가 원래 부호와 반대로 뒤집히면 오버플로우가 발생한 것입니다.
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예: 8비트에서 . 양수에 1을 더했는데 음수 최솟값으로 래핑(Wrapping)되는 현상으로, 실제 아리안 5호 로켓 폭발 사고나 게임 재화 버그의 원인이 되었습니다.
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논리 시프트 vs 산술 시프트:
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음수를 오른쪽으로 시프트(
>>)할 때 빈자리에 무조건 0을 채우면(논리 시프트) 음수가 양수로 바뀌는 참사가 일어납니다. 따라서 부호 있는 정수는 원래의 부호 비트(MSB, 음수면 1)를 복사해서 채우는 산술 시프트(Arithmetic Shift)를 수행합니다.주의할 점
8비트 2의 보수에서 최솟값인 -128(10000000₂)에 절댓값 함수 abs()를 취하거나 부호를 반전(-x)시키면, +128을 표현할 수 없어 다시 -128이 되는 오버플로우 버그가 발생하므로 코딩 테스트와 보안 로직에서 각별히 주의해야 합니다.핵심 요약
- ✓2의 보수는 모든 비트를 반전(1의 보수)시킨 뒤 1을 더하여 구하며, 최상위 비트(MSB)가 1이면 음수다.
- ✓2의 보수 체계는 +0과 -0의 중복 문제를 해결하여 n비트로 -2^(n-1)부터 +2^(n-1)-1까지 표현한다.
- ✓CPU는 2의 보수를 이용해 별도의 감산기 회로 없이 가산기(Adder) 하나로 덧셈과 뺄셈을 통합 처리한다.
- ✓양수+양수가 음수가 되거나 음수+음수가 양수가 되면 정수 오버플로우(Overflow)가 발생한 것이다.