함께 배우는 수업 · 수학

벡터와 행렬의 기본 연산

벡터를 좌표별 양과 방향으로 다루고, 행렬을 선형 변환의 표로 읽습니다. 차원 조건을 확인하며 벡터·행렬의 덧셈, 스칼라곱, 내적과 곱셈을 익혀 행렬식 학습으로 연결합니다.

이 수업에서 해 볼 일

  • 차원 조건을 확인하며 벡터·행렬 연산을 수행한다

먼저 알면 좋은 것: 실수의 사칙연산 · 좌표평면과 순서쌍 · 일차방정식

오늘의 목표

가입 없이 시작할 수 있어요. 설명을 읽고, 함께 연습한 뒤, 처음 보는 문제에서 직접 확인합니다.

판단 과정과 비교 사례

벡터 덧셈과 스칼라곱은 성분별로 계산한다. 내적은 대응 성분의 곱을 더한 스칼라이므로 성분별 곱을 나열한 벡터와 다르다.행렬 덧셈은 같은 위치의 성분끼리 더한다. 행렬곱은 왼쪽 행과 오른쪽 열의 내적이며 순서를 바꾸면 값이나 정의 가능 여부가 달라질 수 있다.m×n과 n×p 행렬의 곱은 m×p다. 안쪽 차원이 같아야 하고 결과의 바깥 차원을 쓰므로 원소 계산 전에 크기를 점검한다.

1. 벡터의 좌표 연산과 내적

벡터 u=(u1,u2)\mathbf{u}=(u_1,u_2)는 평면의 변위나 두 성분을 가진 자료를 나타냅니다. 같은 차원의 벡터는 각 좌표끼리 더하고 빼며, 스칼라 cc를 곱할 때는 모든 좌표에 cc를 곱합니다.
(1,2)+(3,−1)=(4,1),2(1,2)=(2,4)(1,2)+(3,-1)=(4,1), \qquad 2(1,2)=(2,4)
두 벡터의 내적은 대응하는 좌표끼리 곱한 뒤 더한 스칼라입니다: (u1,u2)⋅(v1,v2)=u1v1+u2v2(u_1,u_2)\cdot(v_1,v_2)=u_1v_1+u_2v_2. 예를 들어 (1,2)⋅(3,−1)=3−2=1(1,2)\cdot(3,-1)=3-2=1입니다. 내적은 벡터가 이루는 각도와 직교 여부를 판단하는 데 쓰입니다.

예제로 살펴보기

u=(2,−1)\mathbf{u}=(2,-1), v=(−3,4)\mathbf{v}=(-3,4)일 때 2u+v2\mathbf{u}+\mathbf{v}를 구하시오.
  1. 먼저 2u=(4,-2)입니다. 좌표별로 더하면 (4,-2)+(-3,4)=(1,2)입니다.
확인: 벡터의 덧셈·뺄셈은 같은 위치의 성분끼리 하고 스칼라곱은 모든 성분에 적용한다.

2. 행렬의 크기와 기본 연산

행렬은 수를 직사각형으로 배열한 것으로, 행의 수와 열의 수로 크기를 나타냅니다. 같은 크기의 행렬끼리는 같은 위치의 원소끼리 더하고 빼며, 스칼라곱은 모든 원소에 같은 수를 곱합니다. 크기가 다르면 원소를 일대일로 대응할 수 없어 덧셈을 정의하지 않습니다. 행렬 곱 ABAB가 정의되려면 AA의 열 수와 BB의 행 수가 같아야 합니다. 결과 행렬의 크기는 AA의 행 수와 BB의 열 수입니다. 각 결과 원소는 AA의 한 행과 BB의 한 열을 내적해 얻습니다. 따라서 행렬 곱은 일반적으로 순서를 바꿀 수 없습니다: ABAB와 BABA는 크기부터 다를 수도 있고 값도 다를 수 있습니다.

예제로 살펴보기

A=(1234)A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}, B=(20−11)B=\begin{pmatrix}2&0\\-1&1\end{pmatrix}일 때 ABAB를 구하시오.
  1. 각 행과 열의 내적을 계산합니다. 첫째 행은 (1×2+2×(-1), 1×0+2×1)=(0,2), 둘째 행은 (3×2+4×(-1), 3×0+4×1)=(2,4)이므로 AB=((0,2),(2,4))입니다.
확인: 벡터의 덧셈·뺄셈은 같은 위치의 성분끼리 하고 스칼라곱은 모든 성분에 적용한다.

3. 행렬을 변환으로 읽고 행렬식으로 이어가기

행렬은 입력 벡터를 다른 벡터로 보내는 규칙으로 볼 수 있습니다. 2×22\times2 행렬과 2차원 벡터의 곱은 다시 2차원 벡터를 만듭니다. 예를 들어 A=(2003)A=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}는 첫 좌표를 2배, 둘째 좌표를 3배 합니다. 행렬식은 정사각행렬의 면적·부피 배율과 가역성을 설명합니다. 계산하기 전에 행렬이 정사각형인지 확인하고, 이어서 행렬 곱의 차원 조건과 각 항의 곱-합 구조를 익혀 두면 행렬식 전개와 역행렬 조건을 이해하기 쉽습니다.행렬 곱은 원소별 곱이 아닙니다. 왼쪽 행렬의 행과 오른쪽 행렬의 열을 내적하며, AB=BAAB=BA라고 가정할 수 없습니다.

참고 근거와 확인 범위

설명·예제·문제 구성 및 오류 수정 책임: 프리런. 위 자료는 표시한 주제를 확인하거나 더 읽기 위한 근거이며, 외부 기관의 공식 수업이나 감수본을 뜻하지 않습니다.

참고 자료 연결 점검: 2026-11-02. 제작 방식·검수 범위와 수정 기록에서 확인 범위를 볼 수 있습니다. 오류는 상단의 의견 보내기 또는 contact@freelearn.io로 알려 주세요.

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