벡터와 행렬의 기본 연산

벡터 $\mathbf{u}=(u_1,u_2)$는 평면의 변위나 두 성분을 가진 자료를 나타냅니다. 같은 차원의 벡터는 각 좌표끼리 더하고 빼며, 스칼라 $c$를 곱할 때는 모든 좌표에 $c$를 곱합니다.

두 벡터의 내적은 대응하는 좌표끼리 곱한 뒤 더한 스칼라입니다: $(u_1,u_2)\cdot(v_1,v_2)=u_1v_1+u_2v_2$. 예를 들어 $(1,2)\cdot(3,-1)=3-2=1$입니다. 내적은 벡터가 이루는 각도와 직교 여부를 판단하는 데 쓰입니다.

행렬은 수를 직사각형으로 배열한 것으로, 행의 수와 열의 수로 크기를 나타냅니다. 같은 크기의 행렬끼리는 같은 위치의 원소끼리 더하고 빼며, 스칼라곱은 모든 원소에 같은 수를 곱합니다. 크기가 다르면 원소를 일대일로 대응할 수 없어 덧셈을 정의하지 않습니다.

행렬 곱 $AB$가 정의되려면 $A$의 열 수와 $B$의 행 수가 같아야 합니다. 결과 행렬의 크기는 $A$의 행 수와 $B$의 열 수입니다. 각 결과 원소는 $A$의 한 행과 $B$의 한 열을 내적해 얻습니다. 따라서 행렬 곱은 일반적으로 순서를 바꿀 수 없습니다: $AB$와 $BA$는 크기부터 다를 수도 있고 값도 다를 수 있습니다.

행렬은 입력 벡터를 다른 벡터로 보내는 규칙으로 볼 수 있습니다. $2\times2$ 행렬과 2차원 벡터의 곱은 다시 2차원 벡터를 만듭니다. 예를 들어 $A=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$는 첫 좌표를 2배, 둘째 좌표를 3배 합니다.

행렬식은 정사각행렬의 면적·부피 배율과 가역성을 설명합니다. 계산하기 전에 행렬이 정사각형인지 확인하고, 이어서 행렬 곱의 차원 조건과 각 항의 곱-합 구조를 익혀 두면 행렬식 전개와 역행렬 조건을 이해하기 쉽습니다.