피타고라스 정리와 삼각비

직각삼각형에서 직각($90^\circ$)을 낀 두 변의 길이를 각각 $a, b$라 하고, 직각과 마주 보는 가장 긴 변인 빗변(Hypotenuse)의 길이를 $c$라고 할 때, 다음 등식이 항상 성립합니다:

이 정리의 기하학적 의미는 직각삼각형의 세 변을 각각 한 변으로 하는 세 정사각형을 그렸을 때, 작은 두 정사각형의 넓이의 합($a^2 + b^2$)이 빗변 위에 그린 가장 큰 정사각형의 넓이($c^2$)와 정확히 같다는 것입니다(유클리드의 증명).

역으로 세 변의 길이가 $a, b, c$ ($c$가 가장 긴 변)인 삼각형에서 변의 길이의 제곱을 비교하면 삼각형의 모양(예각·직각·둔각)을 즉시 판별할 수 있습니다:

$\angle A = 90^\circ$인 직각삼각형 $ABC$의 꼭짓점 $A$에서 빗변 $BC$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면, 세 직각삼각형이 모두 닮음이 되어 다음 공식이 성립합니다:

$\angle C = 90^\circ$인 직각삼각형에서 기준각 $A$에 대하여 세 변의 길이의 비율은 삼각형의 크기와 무관하게 일정합니다:

특수각($30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$)의 직각삼각형의 세 변의 길이 비인 $1 : \sqrt{3} : 2$ ($30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$)와 $1 : 1 : \sqrt{2}$ ($45^\circ$-$45^\circ$-$90^\circ$)로부터 특수각의 삼각비가 유도됩니다.

실전 시험에서 학생들이 가장 많이 빠지는 2가지 치명적 함정을 반드시 숙지하세요.

함정 1: 기준각이 바뀌었을 때 '높이'와 '밑변'을 고정해 생각하는 실수

삼각비에서 '높이(대변)'는 무조건 위아래로 서 있는 변이 아니라, 기준각과 마주 보고 있는 변(Opposite side)을 뜻합니다!

함정 2 (최고난도 빈출): 세 변의 길이가 $3, 4, x$인 둔각삼각형 조건에서 삼각형 결정조건 누락

"세 변의 길이가 $3, 4, x$ (단, $x > 4$)인 삼각형이 둔각삼각형이 되도록 하는 $x$의 값의 범위를 구하시오"라는 문제에서: