정적분의 정의와 곡선 사이의 넓이

미분하여 $f(x)$가 되는 함수, 즉 $F'(x) = f(x)$를 만족하는 함수 $F(x)$를 $f(x)$의 부정적분(또는 원시함수, Antiderivative)이라 합니다. 상수는 미분하면 $0$이 되므로 부정적분은 무수히 많으며, 반드시 적분상수 $C$를 붙여 표기합니다:

닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$의 한 부정적분을 $F(x)$라 할 때, $a$에서 $b$까지의 정적분은 다음과 같이 계산됩니다:

또한 정적분으로 정의된 함수를 위끝 변수 $x$에 대하여 미분하면 피적분함수가 그대로 튀어나옵니다:

적분 구간이 원점 대칭인 $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx$ 꼴이 나오면 즉시 차수를 분리합니다:

구간 $[a, b]$에서 두 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$는 $x$축의 위치(양수·음수 여부)와 전혀 상관없이 항상 (위쪽 함수) $-$ (아래쪽 함수)를 적분하면 됩니다:

이차곡선 $y = ax^2 + bx + c$와 $x$축(또는 직선)이 두 점 $x = \alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$)에서 만날 때, 그 둘러싸인 넓이 $S$를 일일이 정적분하면 분수 계산 실수가 속출합니다. 다음 6분의 공식을 쓰면 3초 만에 정확한 답이 나옵니다:

또한 삼차함수 $y = ax^3 + \cdots$와 그 곡선 위의 한 점에서의 접선으로 둘러싸인 넓이(교점이 $\alpha, \beta$일 때)는 12분의 공식으로 구합니다:

예를 들어 구간 $[0, 3]$에서 $y = x^2 - 2x$와 $x$축으로 둘러싸인 넓이를 구할 때, 그냥 $\int_0^3 (x^2 - 2x) \, dx = [\frac{1}{3}x^3 - x^2]_0^3 = 0$이라고 쓰면 오답입니다!