42. 표본평균의 분포와 모평균의 신뢰구간의 핵심 개념 요약은 무엇인가요?

전체 모집단에서 추출한 표본평균(X̄)이 따르는 정규분포 N(m, σ²/n)의 원리(중심극한정리)와, 표본 하나로부터 모평균 m의 범위를 추정하는 95%·99% 신뢰구간 및 오차의 한계를 완벽히 정복합니다. 핵심 정리: 모집단의 평균이 m, 분산이 σ²일 때 크기 n인 표본평균 X̄는 평균 E(X̄) = m, 분산 V(X̄) = σ²/n 인 정규분포 N(m, σ²/n)을 따른다. 모평균 m의 신뢰구간은 [x̄ - k(σ/√n), x̄ + k(σ/√n)] 이며(95%는 k=1.96, 99%는 k=2.58), 양 끝의 중점은 항상 표본평균 x̄이다. 신뢰구간의 길이는 L = 2k(σ/√n) 이고, 모평균과 표본평균의 차의 최댓값(오차의 한계)은 k(σ/√n) 이다. 신뢰구간의 길이를 1/k 배로 줄이려면 표본의 크기 n을 k²배로 늘려야 하며, 신뢰도를 높이면 신뢰구간의 길이는 길어진다.

개념 정리

글자

표본평균의 분포와 모평균의 신뢰구간

단원 개요

전체 모집단에서 추출한 표본평균(X̄)이 따르는 정규분포 N(m, σ²/n)의 원리(중심극한정리)와, 표본 하나로부터 모평균 m의 범위를 추정하는 95%·99% 신뢰구간 및 오차의 한계를 완벽히 정복합니다.

선수 개념

필수 키워드:모집단, Population모평균

m

모표준편차

\sigma

는 뽑힌 구성원에 따라 값이 달라지는

n

3대 황금 공식모평균

m

의 신뢰구간 공식3대 파생 공식신뢰구간의 중점(양 끝의 평균)표본평균

\bar{x}

이 단원의 내용

1개념 정의와 직관적 원리: 모집단과 표본, 표본평균(X̄)의 분포와 중심극한정리 2핵심 공식 유도 및 성질: 모평균 m의 95%·99% 신뢰구간과 신뢰구간의 길이 3심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 신뢰도와 표본 크기 n의 반비례 관계 및 95%의 진짜 의미

개념 정의와 직관적 원리: 모집단과 표본, 표본평균(X̄)의 분포와 중심극한정리

대한민국 전체 유권자의 지지율이나 공장 전구 전체의 수명을 알아내기 위해 전체(모집단, Population)를 다 조사(전수조사)하는 것은 시간과 비용상 불가능합니다. 따라서 모집단에서 일부인 $n$ 개의 표본(Sample)을 임의추출(복원추출)하여 조사한 뒤 모집단의 특성을 추측하는 것을 통계적 추정(Statistical Estimation)이라고 합니다.

모집단의 평균(모평균 $m$ )과 표준편차(모표준편차 $\sigma$ )는 고정된 상수이지만, 크기 $n$ 인 표본을 뽑을 때마다 그 표본들의 평균인 표본평균 $\bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}$ 는 뽑힌 구성원에 따라 값이 달라지는 새로운 확률변수입니다!

표본의 크기가 $n$ 일 때 표본평균 $\bar{X}$ 의 평균·분산·표준편차는 다음 3대 황금 공식을 만족합니다:

E(\bar{X}) = m \quad (\text{모평균과 동일!}), \qquad V(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n} \quad (\text{모분산의 } \frac{1}{n}\text{로 축소!}), \qquad \sigma(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

특히 중심극한정리(Central Limit Theorem)에 의해, 모집단이 정규분포이거나(또는 정규분포가 아니더라도 표본의 크기 $n$ 이 충분히 크면, $n \ge 30$ ), 표본평균 $\bar{X}$ 는 근사적으로 다음 정규분포를 따릅니다:

\bar{X} \sim N\left(m, \; \frac{\sigma^2}{n}\right) \quad \Longrightarrow \quad \text{표준화: } Z = \frac{\bar{X} - m}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0, 1)

핵심 원리

🎯 한 명(X)을 뽑았는가 vs n명의 평균(X̄)을 뽑았는가? 문제에서 '1명을 임의추출할 때'는 분모가 그냥 σ 이지만, '크기 n인 표본을 추출할 때 표본평균 X̄'는 표준편차가 1/√n 배로 줄어들어 표준화 분모에 반드시 'σ / √n' 이 들어가야 합니다!

핵심 공식 유도 및 성질: 모평균 m의 95%·99% 신뢰구간과 신뢰구간의 길이

모평균 $m$ 을 모를 때, 실제로 한 번 추출하여 얻은 표본평균의 관측값 $\bar{x}$ 를 중심으로 모평균 $m$ 이 존재할 것으로 기대되는 구간을 신뢰구간(Confidence Interval)이라 합니다.

표준정규분포에서 $P(|Z| \le 1.96) = 0.95$ 이고 $P(|Z| \le 2.58) = 0.99$ 임을 이용하여 $\left| \frac{\bar{x} - m}{\sigma / \sqrt{n}} \right| \le k$ 를 $m$ 에 관하여 정리하면 다음 모평균 $m$ 의 신뢰구간 공식이 유도됩니다:

•

신뢰도 $95\%$ 의 신뢰구간 ( $k = 1.96$ ):

\bar{x} - 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \; \le \; m \; \le \; \bar{x} + 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

•

신뢰도 $99\%$ 의 신뢰구간 ( $k = 2.58$ ):

\bar{x} - 2.58 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \; \le \; m \; \le \; \bar{x} + 2.58 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

신뢰구간 $[a, b]$ 가 주어졌을 때 반드시 외워야 할 3대 파생 공식입니다:

신뢰구간의 중점(양 끝의 평균)은 언제나 표본평균 $\bar{x}$ 입니다:

\bar{x} = \frac{a + b}{2}

모평균과 표본평균의 차의 최댓값(오차의 한계, Margin of Error):

d = |m - \bar{x}|_{\max} = k \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

신뢰구간의 길이 ( $L = b - a$ ): 양쪽으로 벌어지므로 오차의 한계의 $2$ 배입니다!

L = b - a = 2k \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

풀이

1) [표본평균의 표준오차 σ/√n 계산]:

σ = 20, n = 100 이므로 σ / √n = 20 / √100 = 20 / 10 = 2 입니다.

2) [오차의 한계 계산]:

95% 신뢰도 상수는 k = 1.96 이므로, 오차의 한계 = 1.96 × (σ / √n) = 1.96 × 2 = 3.92 입니다.

3) [95% 신뢰구간]:

500 - 3.92 ≤ m ≤ 500 + 3.92 → 496.08 ≤ m ≤ 503.92 입니다.

4) [신뢰구간의 길이]:

L = 2 × 1.96 × (σ / √n) = 2 × 3.92 = 7.84 (또는 503.92 - 496.08 = 7.84) 입니다.

심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 신뢰도와 표본 크기 n의 반비례 관계 및 95%의 진짜 의미

1) 신뢰구간의 길이

L = 2k\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

과 표본의 크기

n

, 신뢰도

\alpha\%

의 관계 (수능·내신 출제율 100%):

•

표본의 크기 $n$ 을 유지하고 신뢰도를 높이면 ( $95\% \to 99\%$ ): 상수

k

가

1.96 \to 2.58

로 커지므로 신뢰구간의 길이 $L$ 은 길어집니다! (더 확실하게 맞히려면 그물을 더 넓게 쳐야 하기 때문입니다.)

•

신뢰도를 유지하고 표본의 크기 $n$ 을 늘리면: 분모에 $\sqrt{n}$ 이 있으므로 신뢰구간의 길이는 $\frac{1}{\sqrt{n}}$ 배로 짧아집니다(더 정밀한 추정 가능)!

•

특히 신뢰구간의 길이를 $\frac{1}{2}$ 로 줄이려면 표본의 크기

n

은

2

배가 아니라 제곱인 $4$ 배로 늘려야 하고, 길이를 $\frac{1}{3}$ 로 줄이려면 표본의 크기

n

을 $9$ 배로 늘려야 합니다!

2) 실전 빈출 개념 함정 — '신뢰도 95%'의 정확한 수학적 의미:

•

"구해진 특정 신뢰구간 $496.08 \le m \le 503.92$ 안에 모평균 $m$ 이 들어 있을 확률이 $0.95$ 이다" $\implies$ 거짓! (모평균

m

은 이미 정해진 상수이므로 특정 구간 안에 들어 있으면 확률이

1

, 안 들어 있으면

0

입니다.)

•

올바른 의미: 표본 추출을

100

번 반복하여

100

개의 서로 다른 신뢰구간을 만들었을 때, 그중 약 $95$ 개의 신뢰구간이 실제 모평균 $m$ 을 포함할 것으로 기대된다는 뜻입니다!

주의할 점

⚠️ '신뢰구간의 길이(2kσ/√n)' vs '모평균과 표본평균의 차(|m - x̄| ≤ kσ/√n)' 구분 함정: 문제에서 '신뢰구간의 길이'를 물으면 앞에 '2'를 곱해야 하고, '모평균과 표본평균의 차가 d 이하일 조건'을 물으면 앞에 2를 곱하지 않은 오차의 한계 'kσ/√n ≤ d' 부등식을 풀어야 합니다!

핵심 요약

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모집단의 평균이 m, 분산이 σ²일 때 크기 n인 표본평균 X̄는 평균 E(X̄) = m, 분산 V(X̄) = σ²/n 인 정규분포 N(m, σ²/n)을 따른다.
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모평균 m의 신뢰구간은 [x̄ - k(σ/√n), x̄ + k(σ/√n)] 이며(95%는 k=1.96, 99%는 k=2.58), 양 끝의 중점은 항상 표본평균 x̄이다.
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신뢰구간의 길이는 L = 2k(σ/√n) 이고, 모평균과 표본평균의 차의 최댓값(오차의 한계)은 k(σ/√n) 이다.
✓
신뢰구간의 길이를 1/k 배로 줄이려면 표본의 크기 n을 k²배로 늘려야 하며, 신뢰도를 높이면 신뢰구간의 길이는 길어진다.

표본평균의 분포와 모평균의 신뢰구간

개념 정의와 직관적 원리: 모집단과 표본, 표본평균(X̄)의 분포와 중심극한정리

핵심 공식 유도 및 성질: 모평균 m의 95%·99% 신뢰구간과 신뢰구간의 길이

심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 신뢰도와 표본 크기 n의 반비례 관계 및 95%의 진짜 의미

핵심 요약

설명 다음에는 직접 풀어 보세요

42. 표본평균의 분포와 모평균의 신뢰구간 단원 연습 문제

참고 근거와 확인 범위