원의 성질과 원주각의 정리

원 위의 한 호 $\overset{\frown}{AB}$에 대하여 원의 중심 $O$와 이은 각 $\angle AOB$를 중심각이라 하고, 호 $\overset{\frown}{AB}$를 제외한 원주 위의 임의의 점 $P$와 이은 각 $\angle APB$를 원주각이라고 합니다.

점 $P$와 중심 $O$를 지나는 보조선을 그어 두 이등변삼각형의 외각 성질을 적용하면 다음 원주각의 정리가 증명됩니다:

따라서 한 호 $\overset{\frown}{AB}$에 대한 원주각의 크기는 점 $P$가 원주 위 어디로 움직이든 항상 일정하며, 호의 길이는 원주각의 크기에 정비례합니다!

네 꼭짓점이 한 원 위에 있는 사각형 $ABCD$에서, 마주 보는 두 내각($\angle A$와 $\angle C$)의 중심각의 합은 원 한 바퀴인 $360^\circ$입니다. 따라서 원주각의 합인 한 쌍의 대각의 크기의 합은 항상 $180^\circ$입니다:

또한 사각형의 한 외각은 이웃한 내각과 합쳐 $180^\circ$이므로, 원에 내접하는 사각형의 한 외각의 크기는 그 이웃한 내각의 맞은편 대각(내대각)의 크기와 정확히 같습니다!

원의 접선 $AT$와 접점 $A$를 지나는 현 $AB$가 이루는 각 $\angle BAT$의 크기는, 그 각의 내부에 있는 호 $\overset{\frown}{AB}$에 대한 원주각 $\angle BCA$의 크기와 같습니다:

다음 세 조건 중 하나라도 성립하면 네 점은 한 원 위에 있습니다:

진위 판정 문제에서 가장 많이 틀리는 오개념입니다:

사각형 $APBO$에서 $\angle PAO = \angle PBO = 90^\circ$이므로, 항상 $\angle APB + \angle AOB = 180^\circ$가 성립합니다!