36. 곱의 미분법과 몫·합성함수의 미분법의 핵심 개념 요약은 무엇인가요?

복잡하게 얽힌 초월함수와 유리·무리함수를 단숨에 미분하는 3대 핵심 엔진! 곱의 미분법, 몫의 미분법, 연쇄법칙(Chain Rule), 그리고 음함수·역함수 미분법까지 완벽히 정복합니다. 핵심 정리: 곱의 미분법은 (fg)' = f'g + fg' 이고, 몫의 미분법은 (f/g)' = (f'g - fg') / g² 이다. 합성함수 y = f(g(x))의 미분은 연쇄법칙에 의해 겉미분 × 속미분인 f'(g(x))·g'(x) 로 계산한다. 로그합성함수의 미분은 (ln|g(x)|)' = g'(x)/g(x) 이고, 무리함수의 미분은 (√g(x))' = g'(x)/(2√g(x)) 이다. 역함수의 미분계수 (f⁻¹)'(a) 를 구할 때는 먼저 f(b) = a 가 되는 b를 찾은 뒤 1 / f'(b) 로 계산해야 한다.

개념 정리

글자

곱의 미분법과 몫·합성함수의 미분법

단원 개요

복잡하게 얽힌 초월함수와 유리·무리함수를 단숨에 미분하는 3대 핵심 엔진! 곱의 미분법, 몫의 미분법, 연쇄법칙(Chain Rule), 그리고 음함수·역함수 미분법까지 완벽히 정복합니다.

선수 개념

필수 키워드:절대 안 됩니다!곱의 미분법 (Product Rule)분모를 제곱초월함수·무리함수의 필수 합성 미분 공식거듭제곱과 루트 미분지수함수 합성 미분로그함수 합성 미분 (진수분의 진수 미분!)삼각함수 합성 미분실전 오답 1위 함정100% 오답

이 단원의 내용

1개념 정의와 직관적 원리: 곱의 미분법과 몫의 미분법(Quotient Rule)2핵심 공식 유도 및 성질: 합성함수의 미분법(연쇄법칙, Chain Rule)과 초월함수 미분 3심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 역함수의 미분법과 로그미분법

개념 정의와 직관적 원리: 곱의 미분법과 몫의 미분법(Quotient Rule)

미분가능한 두 함수 $f(x), g(x)$ 가 곱해져 있거나 나누어져 있을 때, 단순히 각각의 도함수를 곱하거나 나누면( $f'(x)g'(x)$ 또는 $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ ) 절대 안 됩니다!

1) 곱의 미분법 (Product Rule):

가로가 $f(x)$ , 세로가 $g(x)$ 인 직사각형의 넓이 $f(x)g(x)$ 의 순간 증가량은 가로가 늘어나는 부분 $f'(x)g(x)$ 와 세로가 늘어나는 부분 $f(x)g'(x)$ 의 합으로 이루어집니다:

\big\{ f(x)g(x) \big\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \qquad (\text{세 개일 때: } (fgh)' = f'gh + fg'h + fgh')

2) 몫의 미분법 (Quotient Rule — 분수함수의 미분):

분수함수 $y = \frac{f(x)}{g(x)}$ ( $g(x) \neq 0$ )의 도함수는 분모를 제곱하고, 분자에는 '(분자 미분 $\times$ 분모 그대로) $-$ (분자 그대로 $\times$ 분모 미분)'을 적습니다:

\left\{ \frac{f(x)}{g(x)} \right\}' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}, \qquad \text{특히 분자가 } 1\text{일 때: } \left\{ \frac{1}{g(x)} \right\}' = -\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}

이 몫의 미분법을 이용하면 정수 지수로의 확장 $(x^{-n})' = -nx^{-n-1}$ 및 삼각함수의 도함수 $(\tan x)' = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)' = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ 가 즉시 증명됩니다!

핵심 원리

🎯 몫의 미분법 부호 주의: 곱의 미분법은 가운데가 더하기(+)이므로 순서를 바꿔도 되지만, 몫의 미분법은 가운데가 빼기(-)이므로 반드시 '분자(위) 미분 × 분모(아래)'를 먼저 적고 뒤에서 '분자 × 분모(아래) 미분'을 빼야 부호가 틀리지 않습니다!

핵심 공식 유도 및 성질: 합성함수의 미분법(연쇄법칙, Chain Rule)과 초월함수 미분

미적분학 전체에서 가장 많이 쓰이는 만능 법칙은 합성함수의 미분법(연쇄법칙, Chain Rule)입니다. $y = f(u)$ 이고 속함수가 $u = g(x)$ 로 합성된 함수 $y = f(g(x))$ 를 $x$ 에 대하여 미분할 때, 라이프니츠 미분 기호를 쓰면 마치 분수가 약분되듯 변화율의 배율이 곱해집니다:

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \quad \Longleftrightarrow \quad \big\{ f(g(x)) \big\}' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \quad (\mathbf{\text{겉미분} \times \text{속미분!}})

연쇄법칙을 적용한 초월함수·무리함수의 필수 합성 미분 공식입니다:

거듭제곱과 루트 미분:

\big\{ (g(x))^n \big\}' = n\{g(x)\}^{n-1} g'(x), \qquad \left( \sqrt{g(x)} \right)' = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}} \quad (\text{암기 시 계산 속도 3배!})

지수함수 합성 미분:

\big( e^{g(x)} \big)' = e^{g(x)} \cdot g'(x), \qquad \big( a^{g(x)} \big)' = a^{g(x)} \ln a \cdot g'(x)

로그함수 합성 미분 (진수분의 진수 미분!):

\big( \ln |g(x)| \big)' = \frac{g'(x)}{g(x)}, \qquad \big( \log_a |g(x)| \big)' = \frac{g'(x)}{g(x) \ln a}

삼각함수 합성 미분:

\{\sin(g(x))\}' = \cos(g(x)) \cdot g'(x)

\quad \{\cos(g(x))\}' = -\sin(g(x)) \cdot g'(x)

풀이

1) [몫의 미분법으로 f'(1) 구하기]:

f'(x) = [(2x + 1)'(x² + 1) - (2x + 1)(x² + 1)'] / (x² + 1)²

= [2(x² + 1) - (2x + 1)(2x)] / (x² + 1)²

x = 1을 대입하면 f'(1) = [2(2) - (3)(2)] / 2² = (4 - 6) / 4 = -2/4 = -1/2 입니다.

2) [연쇄법칙으로 g'(0) 구하기]:

g'(x) = (x² + 3x + 1)' / (x² + 3x + 1) + e^(sin x) · (sin x)'

= (2x + 3) / (x² + 3x + 1) + e^(sin x) cos x

x = 0을 대입하면 g'(0) = 3/1 + e⁰ · cos 0 = 3 + 1×1 = 4 입니다.

심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 역함수의 미분법과 로그미분법

1) 역함수의 미분법 (Inverse Function Derivative — 수능 4점 단골 주제):

미분가능한 함수 $y = f(x)$ 의 역함수 $f^{-1}(x)$ 가 존재할 때, 역함수 정의 항등식 $f(f^{-1}(x)) = x$ 의 양변을 연쇄법칙으로 미분하면 $f'(f^{-1}(x)) \cdot (f^{-1})'(x) = 1$ 이 되어 다음 공식이 유도됩니다:

(f^{-1})'(a) = \frac{1}{f'(b)} \qquad \big(\text{단, } f^{-1}(a) = b \iff \mathbf{f(b) = a}\big)

•

실전 오답 1위 함정: 문제에서

(f^{-1})'(a)

를 구하라고 할 때, 무심코

f'(x)

에 그대로

a

를 대입하여

\frac{1}{f'(a)}

라고 쓰면 100% 오답입니다!

•

역함수에서의 입력값

a

는 원래 함수

f

의 입장에서는

x

좌표가 아니라 $y$ 좌표(함숫값)입니다! 따라서 반드시 먼저 방정식 $f(b) = a$ 를 만족하는 $x$ 좌표 $b$ 를 찾은 뒤, 그

b

를 도함수 분모에 넣은 $\frac{1}{f'(b)}$ 로 구해야 합니다!

2) 매개변수 미분법과 로그미분법:

•

매개변수 미분법:

x = f(t), y = g(t)

일 때

\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{g'(t)}{f'(t)}

•

로그미분법: 밑과 지수에 모두 변수

x

가 있는 함수(예:

y = x^{\sin x}

)나 복잡한 거듭제곱 분수식은 양변에 절댓값 자연로그

\ln |y|

를 취해 지수를 앞으로 내린 뒤, 음함수 미분법으로

\frac{y'}{y}

를 구해

y' = y \cdot (\ln|y|)'

로 미분합니다.

주의할 점

🚨 역함수 미분법 3초 프로토콜: (f⁻¹)'(a) 가 나오면 절대 f'(a)를 구하지 마세요! 즉시 옆에 'f(b) = a' 라고 적은 뒤 눈대중(대입)으로 b값을 먼저 찾고, 정답을 '1 / f'(b)' 로 적는 습관을 들이면 절대 틀리지 않습니다!

핵심 요약

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곱의 미분법은 (fg)' = f'g + fg' 이고, 몫의 미분법은 (f/g)' = (f'g - fg') / g² 이다.
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합성함수 y = f(g(x))의 미분은 연쇄법칙에 의해 겉미분 × 속미분인 f'(g(x))·g'(x) 로 계산한다.
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로그합성함수의 미분은 (ln|g(x)|)' = g'(x)/g(x) 이고, 무리함수의 미분은 (√g(x))' = g'(x)/(2√g(x)) 이다.
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역함수의 미분계수 (f⁻¹)'(a) 를 구할 때는 먼저 f(b) = a 가 되는 b를 찾은 뒤 1 / f'(b) 로 계산해야 한다.

곱의 미분법과 몫·합성함수의 미분법

개념 정의와 직관적 원리: 곱의 미분법과 몫의 미분법(Quotient Rule)

핵심 공식 유도 및 성질: 합성함수의 미분법(연쇄법칙, Chain Rule)과 초월함수 미분

심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 역함수의 미분법과 로그미분법

핵심 요약

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36. 곱의 미분법과 몫·합성함수의 미분법 단원 연습 문제

참고 근거와 확인 범위