28. 이차함수의 꼭짓점과 최대·최소의 핵심 개념 요약은 무엇인가요?

포물선의 대칭축과 꼭짓점을 찾아 이차함수와 이차방정식의 교점 관계를 규명하고, 제한된 정의역 안에서의 최댓값과 최솟값을 완벽히 도출합니다. 핵심 정리: 이차함수 y = ax² + bx + c의 대칭축은 x = -b/(2a) 이며, 그래프는 대칭축에 대하여 완벽한 좌우 대칭이다. 이차함수 y = f(x)와 직선 y = g(x)의 교점의 x좌표는 방정식 f(x) - g(x) = 0 의 실근과 같으며 판별식 D로 위치 관계를 판별한다. 제한된 범위 α ≤ x ≤ β 에서의 최대·최소는 대칭축 x = p 가 범위 안에 포함되는지 여부를 가장 먼저 확인해야 한다. 공통부분을 t로 치환하여 최대·최소를 구할 때는 반드시 치환된 문자 t의 새로운 값의 범위를 먼저 구해야 한다.

개념 정리

글자

이차함수의 꼭짓점과 최대·최소

Q: [28. 이차함수의 꼭짓점과 최대·최소 대표 예제] 제한된 범위 -1 ≤ x ≤ 2 에서 이차함수 f(x) = x² - 2x + 3 의 최댓값(M)과 최솟값(m)을 각각 구하시오.

1) 먼저 표준형으로 바꾸어 대칭축과 꼭짓점을 찾습니다: f(x) = (x² - 2x + 1) - 1 + 3 = (x - 1)² + 2 아래로 볼록(a = 1 > 0)하고 꼭짓점은 (1, 2), 대칭축은 x = 1 입니다. 2) 대칭축 x = 1 이 제한된 범위 [-1, 2] 안에 포함되어 있으므로, 꼭짓점 x = 1 에서 최솟값 m = f(1) = 2 를 가집니다. 3) 아래로 볼록한 포물선은 대칭축(x = 1)에서 멀어질수록 함숫값이 커집니다. 양 끝점 x = -1 과 x = 2 중 축 x = 1 에서 더 먼 곳은 x = -1 (거리 2칸)입니다. 4) 따라서 x = -1 일 때 최댓값 M = f(-1) = (-1 - 1)² + 2 = 4 + 2 = 6 을 가집니다.

단원 개요

포물선의 대칭축과 꼭짓점을 찾아 이차함수와 이차방정식의 교점 관계를 규명하고, 제한된 정의역 안에서의 최댓값과 최솟값을 완벽히 도출합니다.

선수 개념

필수 키워드:포물선(Parabola)표준형(Vertex Form)꼭짓점(Vertex)대칭축(Axis of Symmetry)꼭짓점의 좌표대칭축(축)의 방정식

x = p = -\frac{b}{2a}

그래프의 개형

a > 0

아래로 볼록

이 단원의 내용

1개념 정의와 직관적 원리: 포물선의 표준형 변환과 대칭축의 방정식 2핵심 공식 유도 및 성질: 이차함수와 직선의 위치 관계 (판별식 D 활용)3심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 제한된 범위에서의 축 위치와 치환 시 범위 재설정

개념 정의와 직관적 원리: 포물선의 표준형 변환과 대칭축의 방정식

이차함수 $y = ax^2 + bx + c$ ( $a \neq 0$ )의 그래프는 포물선(Parabola)이며, 모든 이차함수 문제 해결의 알파이자 오메가는 일반형을 완전제곱식 형태의 표준형(Vertex Form)으로 바꾸어 꼭짓점(Vertex)과 대칭축(Axis of Symmetry)을 찾는 것입니다:

y = ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a} = a(x - p)^2 + q

•

꼭짓점의 좌표: $(p, q) = \left(-\frac{b}{2a}, \; f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$

•

대칭축(축)의 방정식: $x = p = -\frac{b}{2a}$ (이차함수는 축

x = p

에 대하여 좌우가 완벽히 대칭이므로 항상

f(p - t) = f(p + t)

가 성립합니다!)

•

그래프의 개형:

•

$a > 0$ : 아래로 볼록한 포물선

\implies

꼭짓점

x = p

에서 가장 낮은 값인 최솟값 $q$ 를 가집니다.

•

$a < 0$ : 위로 볼록한 포물선

\implies

꼭짓점

x = p

에서 가장 높은 값인 최댓값 $q$ 를 가집니다.

핵심 원리

🎯 대칭축 공식 x = -b / (2a) 는 1초 만에 암산할 수 있도록 체화하세요! 완전제곱식으로 끝까지 다 묶지 않더라도 축의 x좌표 p = -b/(2a) 만 먼저 구한 뒤 원래 식에 대입하면 꼭짓점의 y좌표 f(p)가 즉시 나옵니다.

핵심 공식 유도 및 성질: 이차함수와 직선의 위치 관계 (판별식 D 활용)

고등학교 수학에서는 '두 그래프의 교점의 $x$ 좌표 $=$ 두 식을 연립한 방정식의 실근'이라는 대원칙을 사용합니다.

1) 이차함수

y = ax^2 + bx + c

의 그래프와

x

축(

y = 0

)의 위치 관계:

연립한 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$ 의 판별식 $D = b^2 - 4ac$ 의 부호에 따라 교점의 개수가 결정됩니다:

•

$D > 0$

\iff

x

축과 서로 다른 두 점에서 만난다 (교점 2개)

•

$D = 0$

\iff

x

축에 접한다 (교점 1개, 꼭짓점이

x

축 위에 위치)

•

$D < 0$

\iff

x

축과 만나지 않는다 (교점 0개, 그래프 전체가

x

축 위나 아래에 붕 떠 있음)

2) 이차함수

y = ax^2 + bx + c

와 직선

y = mx + n

의 위치 관계:

두 식을 같다고 놓아 이항한 새로운 이차방정식

ax^2 + (b - m)x + (c - n) = 0

의 판별식 $D = (b - m)^2 - 4a(c - n)$ 을 조사합니다:

•

$D > 0$ : 서로 다른 두 점에서 만난다.

•

$D = 0$ : 한 점에서 만난다(접한다).

•

$D < 0$ : 만나지 않는다.

풀이

1) 먼저 표준형으로 바꾸어 대칭축과 꼭짓점을 찾습니다:

f(x) = (x² - 2x + 1) - 1 + 3 = (x - 1)² + 2

아래로 볼록(a = 1 > 0)하고 꼭짓점은 (1, 2), 대칭축은 x = 1 입니다.

2) 대칭축 x = 1 이 제한된 범위 [-1, 2] 안에 포함되어 있으므로, 꼭짓점 x = 1 에서 최솟값 m = f(1) = 2 를 가집니다.

3) 아래로 볼록한 포물선은 대칭축(x = 1)에서 멀어질수록 함숫값이 커집니다. 양 끝점 x = -1 과 x = 2 중 축 x = 1 에서 더 먼 곳은 x = -1 (거리 2칸)입니다.

4) 따라서 x = -1 일 때 최댓값 M = f(-1) = (-1 - 1)² + 2 = 4 + 2 = 6 을 가집니다.

심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 제한된 범위에서의 축 위치와 치환 시 범위 재설정

이차함수의 최대·최소 단원에서 학생들이 가장 많이 틀리는 2가지 결정적 함정을 완벽히 정복합시다.

함정 1: 제한된 범위( $\alpha \le x \le \beta$ ) 안에 대칭축( $x = p$ )이 포함되지 않는 경우!

많은 학생들이 습관적으로 꼭짓점의 $y$ 좌표 $q$ 를 최솟값(또는 최댓값)으로 적고 양 끝점 중 하나만 비교해서 틀립니다.

•

대칭축 $x = p$ 가 범위 $[\alpha, \beta]$ 안에 있을 때: 꼭짓점

f(p)

와 양 끝점

f(\alpha), f(\beta)

중 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값입니다.

•

대칭축 $x = p$ 가 범위 $[\alpha, \beta]$ 밖에 벗어났을 때: 그래프가 범위 안에서 단조증가하거나 단조감소하므로, 꼭짓점은 그림의 떡(범위 밖)입니다! 이때는 무조건 양 끝점 $f(\alpha)$ 와 $f(\beta)$ 두 값 중에서만 최댓값과 최솟값이 모두 나옵니다.

함정 2 (수능·내신 최고 빈출): 공통부분을 $t$ 로 치환할 때 새로운 범위 설정 누락!

예를 들어 함수 $y = (x^2 - 2x)^2 - 4(x^2 - 2x) + 1$ 의 최솟값을 구할 때, 공통부분 $x^2 - 2x = t$ 로 치환하면 $y = t^2 - 4t + 1$ 이 됩니다.

•

여기서 아무 조건 없이

t = 2

일 때 최솟값

-3

이라고 답하면 되지만, 만약

t = x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1

의 범위를 구해보면 모든 실수

x

에 대해 $t \ge -1$ 이라는 숨겨진 제한 범위가 생깁니다!

•

"호랑이는 죽어서 가죽을 남기고, 문자는 치환되면서 반드시 새로운 범위를 남긴다!" 이 격언을 절대 잊지 마세요.

주의할 점

⚠️ 치환 문제 철칙: 공통부분 g(x) = t 로 치환하는 순간, 원래 변수 x는 사라지고 t에 대한 이차함수가 됩니다. 이때 반드시 g(x)의 최댓값·최솟값을 먼저 구해 't의 제한된 범위'를 옆에 적어두고 시작하세요!

핵심 요약

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이차함수 y = ax² + bx + c의 대칭축은 x = -b/(2a) 이며, 그래프는 대칭축에 대하여 완벽한 좌우 대칭이다.
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이차함수 y = f(x)와 직선 y = g(x)의 교점의 x좌표는 방정식 f(x) - g(x) = 0 의 실근과 같으며 판별식 D로 위치 관계를 판별한다.
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제한된 범위 α ≤ x ≤ β 에서의 최대·최소는 대칭축 x = p 가 범위 안에 포함되는지 여부를 가장 먼저 확인해야 한다.
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공통부분을 t로 치환하여 최대·최소를 구할 때는 반드시 치환된 문자 t의 새로운 값의 범위를 먼저 구해야 한다.

이차함수의 꼭짓점과 최대·최소

개념 정의와 직관적 원리: 포물선의 표준형 변환과 대칭축의 방정식

핵심 공식 유도 및 성질: 이차함수와 직선의 위치 관계 (판별식 D 활용)

심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 제한된 범위에서의 축 위치와 치환 시 범위 재설정

핵심 요약

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28. 이차함수의 꼭짓점과 최대·최소 단원 연습 문제

참고 근거와 확인 범위