분수의 덧셈과 뺄셈

분수 $\frac{a}{b}$에서 분모 $b$는 전체 $1$을 몇 등분했는지를 나타내는 '단위 조각의 크기(기준)'이고, 분자 $a$는 그 조각이 몇 개 있는지를 나타내는 '조각의 개수'입니다.

피자 $\frac{1}{2}$판(2등분 한 것 중 1조각)과 $\frac{1}{3}$판(3등분 한 것 중 1조각)을 더한다고 생각해 봅시다. 두 조각의 크기가 서로 다른데 무작정 분모끼리, 분자끼리 더해서 $\frac{1+1}{2+3} = \frac{2}{5}$판이라고 하면 말이 될까요? $\frac{1}{2}$판($0.5$)에 피자를 더 보탰는데 오히려 절반보다 작은 $\frac{2}{5}$판($0.4$)으로 줄어드는 모순이 발생합니다!

따라서 분모가 다른 이분모 분수를 더하거나 빼려면, 반드시 단위 조각의 크기를 똑같이 통일하는 과정이 선행되어야 합니다. 이처럼 분수의 분모와 분자에 $0$이 아닌 같은 수를 곱하여 분모를 같게 만드는 것을 '통분(Common Denominator)'이라 하고, 통분한 분모를 '공통분모'라고 부릅니다.

이분모 분수의 덧셈과 뺄셈은 다음 4단계 표준 알고리즘으로 해결합니다.

예를 들어 $\frac{5}{6} + \frac{3}{8}$을 계산해 봅시다:

실전 시험에서 오답률이 가장 높은 유형은 $3\frac{1}{4} - 1\frac{2}{3}$ 처럼 대분수의 뺄셈에서 진분수 부분끼리 바로 뺄 수 없는 경우입니다.

먼저 분모 $4$와 $3$을 최소공배수 $12$로 통분하면 다음과 같이 됩니다:

여기서 앞의 분수 부분 $\frac{3}{12}$에서 뒤의 분수 부분 $\frac{8}{12}$을 뺄 수 없습니다! 이때 두 가지 정석 해법이 있습니다:

앞의 자연수 $3$에서 $1$을 빌려와 분수 조각 $\frac{12}{12}$로 바꾼 뒤 기존 $\frac{3}{12}$에 더해줍니다.

이제 자연수는 자연수끼리, 분수는 분수끼리 뺍니다:

흔히 범하는 함정: 자연수에서 $1$을 빌려올 때 십진법 뺄셈 습관 때문에 분자에 무조건 $10$을 더해 $2\frac{13}{12}$으로 쓰는 실수가 매우 흔합니다! 분수에서 자연수 $1$을 빌려오면 $10$이 아니라 현재 분모의 크기(위 예에서는 $12$)만큼 분자에 더해진다는 점을 명심하세요.