소수의 곱셈과 나눗셈

소수(Decimal)는 갑자기 하늘에서 떨어진 새로운 수가 아니라, 분모가 $10, 100, 1000, \dots$ ($10$의 거듭제곱)인 십진분수를 분모 없이 소수점($.$) 하나로 간편하게 표기한 것입니다:

이 원리를 알면 소수의 곱셈에서 왜 소수점 아래 자릿수가 늘어나는지 단번에 증명됩니다. 예를 들어 $0.3 \times 0.04$를 십진분수로 바꾸어 계산해 봅시다:

분모가 $10$(소수 한 자리)과 $100$(소수 두 자리)이 곱해져 $1000$(소수 세 자리)이 되었기 때문에, 결과물의 소수점 아래 자릿수는 두 소수의 소수점 아래 자릿수의 합($1 + 2 = 3$자리)이 되는 것입니다!

소수점을 없애고 자연수의 곱셈처럼 먼저 계산한 뒤, 곱하는 두 수의 소수점 아래 자릿수의 합만큼 맨 오른쪽 끝에서부터 왼쪽으로 소수점을 옮겨 찍습니다.

나눗셈 $A \div B = \frac{A}{B}$에서 분모와 분자에 똑같이 $10, 100, 1000$을 곱해도 몫은 변하지 않습니다. 따라서 나누는 수(제수, $B$)가 자연수가 되도록 나누는 수와 나누어지는 수의 소수점을 똑같은 칸수만큼 오른쪽으로 이동하여 계산합니다.

소수 연산에서 상위권 학생들도 가장 자주 틀리는 3대 치명적 함정을 분석합니다.

함정 1: 곱셈 결과 끝에 $0$이 생길 때 먼저 지워버리는 실수

$0.25 \times 0.4$를 계산할 때 $25 \times 4 = 100$에서 $0$을 먼저 지운 뒤 소수점을 찍으면 안 됩니다! 반드시 $100$ 상태에서 소수점을 왼쪽으로 $2 + 1 = 3$칸 먼저 이동시켜 $0.100$을 만든 뒤, 소수점 맨 끝의 불필요한 $0$을 지워 $0.1$로 답해야 합니다.

함정 2: $1$보다 작은 소수를 곱하고 나눌 때의 크기 비교

양수 $A$에 대하여:

함정 3 (최고난도 빈출): 소수 나눗셈에서 '몫을 자연수까지 구했을 때의 나머지'

"물 $13.4\text{L}$를 한 병에 $3\text{L}$씩이 아니라 $0.3\text{L}$씩이나 $4\text{L}$씩 담을 때 남는 양은 얼마인가?" 같은 문제에서, 예를 들어 $1.4 \div 0.3$의 몫을 자연수까지 구하고 나머지를 구하시오라는 문제를 봅시다.