이차방정식과 인수분해

우변의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리했을 때

꼴이 되는 방정식을 $x$에 대한 이차방정식(Quadratic Equation)이라고 합니다. (여기서 최고차항의 계수 $a \neq 0$ 조건이 빠지면 일차방정식이 되므로 매우 중요합니다!)

이차방정식을 푸는 가장 빠르고 기본적인 원리는 실수의 영인자 성질(Zero-Product Property)입니다. 두 수 또는 두 식 $A, B$를 곱해서 $0$이 되었다면, 둘 중 적어도 하나는 반드시 $0$이어야 합니다:

따라서 좌변의 이차식을 두 일차식의 곱 $a(x - \alpha)(x - \beta) = 0$으로 인수분해할 수만 있다면, $x - \alpha = 0$ 또는 $x - \beta = 0$으로부터 두 근 $x = \alpha$ 또는 $x = \beta$를 단숨에 구할 수 있습니다. 만약 $a(x - \alpha)^2 = 0$처럼 두 일차식이 똑같아 해가 하나로 겹치면 이를 중근(Multiple Root / Double Root)이라고 부릅니다.

인수분해가 되지 않는 모든 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$)은 완전제곱식 변형을 통해 일반해를 유도할 수 있습니다:

만약 일차항의 계수가 짝수($b = 2b'$)라면 $2$로 약분된 짝수 근의 공식(반공식)을 쓰면 계산이 훨씬 간단합니다:

여기서 근호($\sqrt{\quad}$) 안의 식 $D = b^2 - 4ac$ (짝수 공식은 $D/4 = b'^2 - ac$)를 판별식(Discriminant)이라 하며, 그 부호에 따라 근의 개수가 결정됩니다:

이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$의 두 근을 $\alpha, \beta$라 하면 $a(x - \alpha)(x - \beta) = ax^2 - a(\alpha + \beta)x + a\alpha\beta = 0$과 계수를 비교하여 다음 공식을 얻습니다:

이를 이용하면 근을 직접 구하지 않고도 $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$ 등의 대칭식 값을 즉시 구할 수 있습니다.

판별식 $D/4 = 4 - (k-2)(-1) = k + 2 \ge 0 \implies k \ge -2$ 만 쓰면 틀립니다! 문제 첫머리에 '이차방정식'이라고 명시되어 있으므로 최고차항의 계수가 $0$이 아니라는 조건($k \neq 2$)을 반드시 함께 적어주어야 합니다!

중근도 실근에 포함됩니다! 따라서 그냥 '실근(또는 두 실근)'을 가질 조건은 등호가 포함된 $D \ge 0$이고, '서로 다른 두 실근'을 가질 조건만 $D > 0$입니다.

$(x - 1)(x - 3) = 8$을 보고 $x - 1 = 8$ 또는 $x - 3 = 8$로 풀면 절대 안 됩니다! 영인자 성질은 우변이 $0$일 때만 성립하므로, 반드시 좌변을 전개하고 $8$을 이항해 $x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1) = 0 \implies x = 5$ 또는 $x = -1$로 풀어야 합니다.