이항분포와 정규분포 곡선

확률변수 $X$가 가질 수 있는 값이 $0, 1, 2, \dots, n$처럼 셀 수 있는 경우를 이산확률변수라 하고, 그 기댓값(평균)과 분산은 $E(X) = \sum x_i p_i$, $V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2$으로 정의됩니다.

특히 $1$회 시행에서 사건 $A$가 일어날 확률이 $p$ ($q = 1 - p$)인 독립시행을 $n$번 반복할 때 사건 $A$가 일어나는 횟수를 확률변수 $X$라 하면, $X$의 확률질량함수는 독립시행의 확률과 같으며 이를 이항분포(Binomial Distribution) $B(n, p)$를 따른다고 합니다:

이항분포 $X \sim B(n, p)$에서는 복잡한 시그마 표를 그릴 필요 없이 시행 횟수 $n$과 확률 $p$의 곱셈만으로 평균·분산·표준편차를 1초 만에 구하는 초강력 공식이 성립합니다:

키, 몸무게, 시험 성적처럼 연속적인 실수값을 갖는 연속확률변수 중에서 자연계와 사회 현상을 가장 완벽하게 설명하는 분포가 평균 $m$, 표준편차 $\sigma$인 정규분포(Normal Distribution) $N(m, \sigma^2)$입니다.

평균이 $0$이고 분산이 $1$인 정규분포 $N(0, 1)$을 표준정규분포라 합니다. 임의의 정규분포 $X \sim N(m, \sigma^2)$은 다음 표준화 공식을 통해 언제나 하나의 표준정규분포표($Z$)로 확률을 구할 수 있습니다:

"주사위를 $720$번 던질 때 $1$의 눈이 $100$번 이상 $130$번 이하로 나올 확률을 구하시오."

문제에 $X \sim N(50, 16)$이라고 적혀 있을 때, 뒷자리의 숫자는 표준편차 $\sigma$가 아니라 분산 $\sigma^2 = 16$입니다! 표준화 공식 $Z = \frac{X - m}{\sigma}$의 분모에는 $16$이 아니라 반드시 루트를 씌운 표준편차 $\sigma = \sqrt{16} = 4$를 넣어야 합니다!