27. 일차함수와 직선의 방정식의 핵심 개념 요약은 무엇인가요?

변화하는 두 변수 x, y의 관계를 좌표평면 위의 곧은 직선으로 시각화하는 일차함수 y = ax + b의 기울기, 절편, 평행·수직 조건을 마스터합니다. 핵심 정리: 일차함수 y = ax + b에서 기울기 a = (y의 증가량)/(x의 증가량)이며, |a|가 클수록 y축에 가깝다. x절편은 y = 0을 대입한 x값(-b/a)이고, y절편은 x = 0을 대입한 y값(b)이다. 두 직선이 평행하려면 기울기가 같고 y절편이 달라야(a = a', b ≠ b') 하며, 이때 연립방정식의 해는 없다. 두 직선의 교점의 좌표 (p, q)는 두 식을 연립방정식으로 풀었을 때의 해 (x, y)와 완벽히 일치한다.

개념 정리

글자

일차함수의 기울기와 절편

Q: [27. 일차함수와 직선의 방정식 대표 예제] 두 점 (-1, 5)와 (2, -1)을 지나는 일차함수의 식 y = ax + b 를 구하고, 이 직선의 x절편과 y절편, 그리고 좌표축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.

1) [기울기 a 구하기]: a = (-1 - 5) / (2 - (-1)) = -6 / 3 = -2 2) [y절편 b 구하기]: y = -2x + b 에 점 (2, -1)을 대입하면 -1 = -2(2) + b → b = 3. 따라서 직선의 식은 y = -2x + 3 입니다. 3) [절편 구하기]: y절편은 b = 3 이고, x절편은 y = 0을 대입하면 0 = -2x + 3 → x = 3/2 입니다. 4) [삼각형 넓이]: x축, y축과 직선으로 둘러싸인 직각삼각형의 밑변은 |x절편| = 3/2, 높이는 |y절편| = 3 이므로 넓이는 (1/2) × (3/2) × 3 = 9/4 입니다.

단원 개요

변화하는 두 변수 x, y의 관계를 좌표평면 위의 곧은 직선으로 시각화하는 일차함수 y = ax + b의 기울기, 절편, 평행·수직 조건을 마스터합니다.

선수 개념

필수 키워드:함수(Function)일차함수(Linear Function)

y

축의 방향으로

b

만큼 평행이동기울기(Slope,

a

)

a > 0

오른쪽 위로

a < 0

오른쪽 아래로

|a|

(기울기의 절댓값)

y

축에 가까워집니다.

이 단원의 내용

1개념 정의와 직관적 원리: 평행이동과 기울기(Slope)의 기하학적 본질 2핵심 공식 유도 및 성질: x절편·y절편과 직선의 방정식 세우기 3심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 두 직선의 위치 관계와 연립방정식의 해

개념 정의와 직관적 원리: 평행이동과 기울기(Slope)의 기하학적 본질

두 변수 $x, y$ 에 대하여 $x$ 의 값이 정해짐에 따라 $y$ 의 값이 오직 하나로 결정되는 대응 관계를 함수(Function)라 하고, $y$ 가 $x$ 에 대한 일차식

y = ax + b \quad (a, b\text{는 상수}, \; a \neq 0)

로 나타날 때 이를 일차함수(Linear Function)라고 부릅니다.

일차함수 $y = ax + b$ 의 그래프는 원점을 지나는 정비례 직선 $y = ax$ 의 그래프를 $y$ 축의 방향으로 $b$ 만큼 평행이동한 곧은 직선입니다. 여기서 두 상수 $a$ 와 $b$ 는 직선의 모양과 위치를 결정하는 핵심 열쇠입니다:

•

기울기(Slope, $a$ ): 직선이 얼마나 가파르게 기울어져 있는지를 나타내는 수치로, $x$ 의 값의 증가량에 대한 $y$ 의 값의 증가량의 비율로 정의됩니다. 서로 다른 두 점

(x_1, y_1)

(x_2, y_2)

를 지날 때:

\text{기울기 } a = \frac{(y\text{의 값의 증가량})}{(x\text{의 값의 증가량})} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

•

$a > 0$ :

x

가 증가할 때

y

도 증가하므로 오른쪽 위로 향하는 직선입니다.

•

$a < 0$ :

x

가 증가할 때

y

는 감소하므로 오른쪽 아래로 향하는 직선입니다.

•

$|a|$ (기울기의 절댓값)가 클수록 경사가 가팔라져 $y$ 축에 가까워집니다.

핵심 원리

💡 기울기 계산 시 주의사항: (y2 - y1) / (x2 - x1) 에서 분자와 분모의 빼는 순서를 반드시 일치시켜야 합니다! 분자에서 뒤의 점 빼기 앞의 점을 했다면 분모에서도 반드시 뒤의 점 빼기 앞의 점을 해야 부호가 틀리지 않습니다.

핵심 공식 유도 및 성질: x절편·y절편과 직선의 방정식 세우기

직선이 좌표축( $x$ 축, $y$ 축)과 만나는 두 교점의 좌표를 알면 자를 대고 직선을 즉시 그릴 수 있습니다:

$y$ 절편( $y$ -intercept): 직선이 $y$ 축과 만나는 점의 $y$ 좌표입니다.

y

축 위의 모든 점은

x = 0

이므로, 식에 $x = 0$ 을 대입하여 구합니다

\implies

항상 상수항 $b$ 가 됩니다 (좌표로는

(0, b)

$x$ 절편( $x$ -intercept): 직선이 $x$ 축과 만나는 점의 $x$ 좌표입니다.

x

축 위의 모든 점은

y = 0

이므로, 식에 $y = 0$ 을 대입하여

ax + b = 0

을 풀면

\implies

$-\frac{b}{a}$ 가 됩니다 (좌표로는

(-\frac{b}{a}, 0)

또한 미지수가 2개인 일차방정식 $Ax + By + C = 0$ ( $B \neq 0$ )을 $y$ 에 관하여 정리하면 $y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}$ 가 되어 일차함수와 완벽히 같은 직선을 나타냅니다. 특히:

•

$x = p$ 꼴의 방정식은 $y$ 축에 평행(즉

x

축에 수직)하고 점

(p, 0)

을 지나는 세로 직선입니다.

•

$y = q$ 꼴의 방정식은 $x$ 축에 평행(즉

y

축에 수직)하고 점

(0, q)

를 지나는 가로 직선입니다.

풀이

1) [기울기 a 구하기]: a = (-1 - 5) / (2 - (-1)) = -6 / 3 = -2

2) [y절편 b 구하기]: y = -2x + b 에 점 (2, -1)을 대입하면 -1 = -2(2) + b → b = 3. 따라서 직선의 식은 y = -2x + 3 입니다.

3) [절편 구하기]: y절편은 b = 3 이고, x절편은 y = 0을 대입하면 0 = -2x + 3 → x = 3/2 입니다.

4) [삼각형 넓이]: x축, y축과 직선으로 둘러싸인 직각삼각형의 밑변은 |x절편| = 3/2, 높이는 |y절편| = 3 이므로 넓이는 (1/2) × (3/2) × 3 = 9/4 입니다.

심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 두 직선의 위치 관계와 연립방정식의 해

두 일차함수 $y = ax + b$ 와 $y = a'x + b'$ 의 그래프의 위치 관계는 연립방정식의 해의 개수(교점의 개수)와 직결됩니다:

한 점에서 만난다 (연립방정식의 해가 오직 1쌍):

•

조건: 기울기가 서로 다르다 ( $a \neq a'$ ).

•

특히 두 직선이 수직(직교)으로 만날 조건(고등 연계 심화)은 두 기울기의 곱이 $-1$ (

a \times a' = -1

)입니다.

•

이때 두 직선의 교점의 좌표 $(p, q)$ 는 곧 두 일차방정식을 연립하여 푼 해 $x = p, y = q$ 와 완벽히 일치합니다!

평행하다 (교점이 없다 $\iff$ 연립방정식의 해가 없다 / 불능):

•

조건: 기울기는 같고 $y$ 절편은 다르다 ( $a = a', \; b \neq b'$ ).

일치한다 (교점이 무수히 많다 $\iff$ 연립방정식의 해가 무수히 많다 / 부정):

•

조건: 기울기도 같고 $y$ 절편도 같다 ( $a = a', \; b = b'$ ).

실전 빈출 함정 분석:

•

"일차함수 $y = ax + b$ 를 평행이동하여 $y = 3x - 1$ 과 포개어질 조건"을 물을 때, '포개어진다'는 것은 평행이동 시 일치할 수 있다는 뜻이므로 오직 기울기만 같으면( $a = 3$ ) 됩니다. 반면 "일차함수

y = ax + b

가

y = 3x - 1

과 평행할 조건"을 물을 때는 반드시 $a = 3$ 이고 동시에 $b \neq -1$ 조건까지 적어주어야 일치하는 경우를 배제할 수 있습니다!

학습 도움말

🎯 함수와 방정식의 통합 핵심: '두 일차함수 그래프의 교점의 좌표'라는 말이 나오면 그래프를 그리느라 고민하지 말고, 즉시 두 식을 '연립방정식'으로 묶어 x, y 해를 구하세요!

핵심 요약

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일차함수 y = ax + b에서 기울기 a = (y의 증가량)/(x의 증가량)이며, |a|가 클수록 y축에 가깝다.
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x절편은 y = 0을 대입한 x값(-b/a)이고, y절편은 x = 0을 대입한 y값(b)이다.
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두 직선이 평행하려면 기울기가 같고 y절편이 달라야(a = a', b ≠ b') 하며, 이때 연립방정식의 해는 없다.
✓
두 직선의 교점의 좌표 (p, q)는 두 식을 연립방정식으로 풀었을 때의 해 (x, y)와 완벽히 일치한다.

일차함수의 기울기와 절편

개념 정의와 직관적 원리: 평행이동과 기울기(Slope)의 기하학적 본질

핵심 공식 유도 및 성질: x절편·y절편과 직선의 방정식 세우기

심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 두 직선의 위치 관계와 연립방정식의 해

핵심 요약

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27. 일차함수와 직선의 방정식 단원 연습 문제

참고 근거와 확인 범위