소인수분해와 최대공약수·최소공배수

물질을 쪼개면 더 이상 분해되지 않는 화학 원소(수소, 산소 등)가 나오듯, $1$보다 큰 자연수를 곱셈으로 쪼개면 더 이상 분해되지 않는 수학의 기본 원소인 소수(Prime Number)가 나옵니다.

자연수는 약수의 개수에 따라 다음과 같이 정확히 세 종류로 분류됩니다:

합성수를 오직 소수들만의 곱(거듭제곱 꼴)으로 나타내는 것을 소인수분해(Prime Factorization)라고 합니다. 산술의 기본정리(Fundamental Theorem of Arithmetic)에 의해, $1$보다 큰 모든 자연수는 곱하는 순서를 생각하지 않을 때 단 한 가지 방법(유일하게)으로만 소인수분해됩니다.

자연수 $N$이 $N = a^m \times b^n \times c^k$ ($a, b, c$는 서로 다른 소수)로 소인수분해될 때, $N$의 약수는 $a^m$의 약수 $(1, a, a^2, \dots, a^m)$ 중 하나($m+1$가지), $b^n$의 약수 중 하나($n+1$가지), $c^k$의 약수 중 하나($k+1$가지)를 골라 곱한 것입니다. 따라서:

예를 들어 $72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2$이므로, $72$의 약수의 개수는 지수에 각각 $1$을 더하여 곱한 $(3 + 1) \times (2 + 1) = 4 \times 3 = \mathbf{12}$개입니다.

두 수를 소인수분해하여 밑이 같은 거듭제곱끼리 나란히 비교할 때:

중등 내신 시험에서 거의 $100\%$ 출제되는 두 가지 심화 유형과 오답 함정을 완벽히 정복합시다.

심화 1: 어떤 자연수의 제곱(완전제곱수) 만들기

어떤 자연수가 제곱수($K^2$)가 되기 위한 필요충분조건은 소인수분해했을 때 모든 소인수의 지수가 '짝수'가 되는 것입니다!

심화 2: 두 자연수 $A, B$와 최대공약수 $G$, 최소공배수 $L$의 황금 관계식

최대공약수가 $G$인 두 자연수 $A, B$는 서로소인 두 자연수 $a, b$에 대하여 $A = G \times a$, $B = G \times b$로 놓을 수 있습니다. 이때 최소공배수는 $L = G \times a \times b$가 되므로, 두 수의 곱은 항상 다음 등식을 만족합니다:

빈출 함정 주의: "두 수가 서로소이면 둘 다 소수이다"라는 명제는 거짓입니다! 예를 들어 $8(=2^3)$과 $9(=3^2)$는 둘 다 합성수이지만 공약수가 $1$뿐이므로 서로소입니다.