비와 비율, 비례식

두 수를 비교하는 방법에는 뺄셈으로 차이를 구하는 방법(절대적 비교)과, 한 수를 기준으로 다른 수가 몇 배인지를 나눗셈으로 구하는 방법(상대적 비교)이 있습니다. 기호 '$:$'를 사용하여 두 양을 상대적으로 비교하는 것을 비(Ratio)라고 합니다.

비 $a : b$ 에서는 위치에 따라 역할이 엄격히 정해져 있습니다:

국어 표현에 따라 순서가 바뀌므로 '~에 대한', '~의'라는 조사가 붙은 쪽이 무조건 기준량($b$, 뒤쪽)임을 기억해야 합니다:

이때 비교하는 양을 기준량으로 나눈 하나의 수치(분수 또는 소수)를 비율(Rate)이라고 정의합니다:

분수나 소수로 된 비율은 직관적으로 비교하기 어려울 때가 많아, 기준량을 $100$으로 통일했을 때의 비율인 백분율($\%$)을 실생활에서 가장 널리 씁니다:

예를 들어 비율 $\frac{3}{5}$은 $\frac{3}{5} \times 100 = 60\%$이며, 소수 $0.08$은 $0.08 \times 100 = 8\%$입니다.

여기서 바깥쪽에 있는 $a, d$를 외항(Outer Terms), 안쪽에 있는 $b, c$를 내항(Inner Terms)이라 합니다. 비례식을 분수 등식 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$로 바꾼 뒤 양변에 $b \times d$를 곱하면 비례식의 가장 위대한 공식이 유도됩니다:

전체 양 $T$를 주어진 비 $a : b$로 나누어 가질 때는, 전체를 $(a + b)$등분한 것 중 각각 $a$만큼, $b$만큼의 비율을 곱합니다:

예를 들어 사탕 $40$개를 형과 동생이 $3 : 5$로 비례배분하면, 전체 조각 수는 $3 + 5 = 8$조각이므로 형은 $40 \times \frac{3}{8} = 15$개, 동생은 $40 \times \frac{5}{8} = 25$개를 받습니다. (검산: $15 + 25 = 40$개 일치!)

위 문제에서 형의 몫을 구할 때 $40 \times \frac{3}{5}$로 계산하는 오답이 매우 많습니다. 비례배분의 분모는 후항($b$)이 아니라 반드시 전항과 후항의 합($a + b$)이어야 합니다!

"어떤 상품의 가격을 $20\%$ 올렸다가, 장사가 안 되어 다시 $20\%$를 내렸습니다. 원래 가격과 같을까요?"