일차부등식과 연립일차방정식

부등호($<, >, \le, \ge$)를 사용하여 수 또는 식의 대소 관계를 나타낸 식을 부등식(Inequality)이라고 합니다. 특히 국어 표현을 부등호로 바꿀 때 경계값 포함 여부를 정확히 구분해야 합니다:

부등식의 양변에 같은 수를 더하거나 뺄 때, 그리고 양수를 곱하거나 나눌 때는 부등호 방향이 그대로 유지됩니다. 그러나 양변에 음수($-$)를 곱하거나 나눌 때는 부등호의 방향이 반드시 반대로 뒤집힙니다!

왜 그럴까요? 수직선에서 $2 < 5$이지만 양변에 $-1$을 곱하면 원점 대칭 이동이 일어나 $-2$와 $-5$가 되는데, 음수에서는 원점에 가까운 $-2$가 $-5$보다 더 크므로 $-2 > -5$로 대소 관계가 역전되기 때문입니다.

일차방정식과 똑같이 $x$항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항(이항은 덧셈·뺄셈 원리이므로 부등호 방향 안 바뀜!)한 뒤 마지막에 $x$의 계수 $a$로 양변을 나눕니다:

미지수가 $2$개($x, y$)인 두 일차방정식을 한 쌍으로 묶은 연립방정식의 핵심 전략은 미지수 1개를 없애(소거하여) 미지수가 1개인 일차방정식으로 만드는 것입니다:

내신 고난도 문항으로 반드시 출제되는 2가지 심화 함정 유형을 완벽히 마스터합시다.

심화 1: 문자 계수 $a$의 부호가 숨겨진 부등식 ($ax + b > 0$)

"부등식 $ax > 2a$를 푸시오"라는 문제에서 무심코 $a$로 약분하여 $x > 2$라고 쓰면 오답입니다! 문자 $a$가 양수인지 음수인지 알 수 없기 때문입니다.

특히 문제에서 "부등식 $(a - b)x > 2(a - b)$의 해가 $x < 2$이다"라고 주어졌다면, 양변을 $(a - b)$로 나누었을 때 부등호 방향이 반대로 뒤집혔으므로 나누어준 수 $(a - b) < 0$ (즉 $a < b$)이라는 숨은 조건을 스스로 읽어내야 합니다!

심화 2 (최고난도 함정): 부등식을 만족하는 자연수(정수) $x$의 개수가 주어질 때 등호($=$) 판별

예를 들어 "일차부등식 $x < a$를 만족하는 자연수 $x$가 $3$개($1, 2, 3$)일 때 상수 $a$의 값의 범위를 구하시오"라는 문제를 봅시다: