다항식의 연산과 나머지정리

자연수 $17$을 $5$로 나누면 몫이 $3$이고 나머지가 $2$이듯($17 = 5 \times 3 + 2$), 다항식 $f(x)$를 다항식 $B(x)$ ($B(x) \neq 0$)로 나누었을 때의 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $R(x)$라 하면 다음 다항식의 나눗셈 항등식이 항상 성립합니다:

여기서 가장 중요한 핵심 규칙은 '나머지 $R(x)$의 차수는 나누는 식 $B(x)$의 차수보다 항상 작아야 한다'는 것입니다!

특히 $f(x)$를 일차식 $x - \alpha$로 나눌 때는 $f(x) = (x - \alpha)Q(x) + R$이 $x$에 대한 항등식이므로, 복잡한 몫 $Q(x)$를 구할 필요 없이 양변에 $x = \alpha$를 대입하여 $(x - \alpha)Q(x)$ 통째로 $0$으로 날려버릴 수 있습니다. 이것이 바로 나머지정리(Remainder Theorem)입니다:

나머지정리에서 만약 $f(\alpha) = 0$이면 나머지가 $0$이라는 뜻이므로, $f(x) = (x - \alpha)Q(x)$로 나누어떨어집니다:

이는 3차 이상의 고차다항식을 인수분해할 때 가장 강력한 무기입니다. 상수항의 약수($\pm 1, \pm 2, \dots$)를 대입하여 $f(\alpha) = 0$이 되는 $\alpha$를 하나만 찾으면 즉시 $(x - \alpha)$ 인수를 뽑아낼 수 있습니다.

다항식을 일차식 $x - \alpha$로 나눌 때, 문자를 생략하고 오직 계수들만 적어서 덧셈과 곱셈만으로 몫과 나머지를 초고속으로 구하는 알고리즘입니다.

고1 첫 중간고사에서 최상위권 변별력을 가르는 2대 핵심 함정과 킬러 유형을 완벽히 분석합니다.

함정 1 (시험 출제율 99%): $x$의 계수가 $1$이 아닌 일차식($ax + b$)으로 조립제법을 할 때 '몫'의 함정

조립제법은 태생적으로 무조건 $x$의 계수가 $1$인 일차식 $(x + \frac{b}{a})$로 나눈 것으로 간주하여 계산합니다!

예를 들어 $f(x)$를 $2x - 4$로 나누기 위해 조립제법에 $x = 2$를 넣어 몫 $Q(x)$와 나머지 $R$을 얻었다면, 실제 식은 다음과 같이 변형됩니다:

심화 2 (킬러 유형): 삼차식 $(x - \alpha)^2(x - \beta)$로 나눈 나머지 설정법

"다항식 $f(x)$를 $(x - 1)^2$으로 나눈 나머지가 $3x + 2$이고, $(x - 2)$로 나눈 나머지가 $7$일 때, $f(x)$를 $(x - 1)^2(x - 2)$로 나눈 나머지를 구하시오."

로 세운 뒤 $f(2) = a(2 - 1)^2 + 3(2) + 2 = 7 \implies a = -1$로 단 10초 만에 해결해야 합니다!