수학>초등 5>10. 도형의 합동과 대칭 (선대칭과 점대칭 도형)
개념 정리

도형의 합동과 대칭 (선대칭과 점대칭 도형)

단원 개요
모양과 크기가 같아 완전히 포개어지는 합동의 대응 성질과, 접어서 겹치는 선대칭도형(대칭축의 수직이등분 성질) 및 180° 돌려서 겹치는 점대칭도형(대칭의 중심의 이등분 성질)을 마스터합니다.
선수 개념
필수 키워드:포개었을 때 완전히 겹치는 두 도형합동(Congruent)대응점대응변대응각합동인 두 도형의 절대 성질 2가지대응변의 길이가 서로 같습니다.대응각의 크기가 서로 같습니다.대응점끼리 같은 위치에 오도록작도 원리
이 단원의 내용
1개념 정의와 직관적 원리: 도형의 합동과 대응점·대응변·대응각2핵심 공식 유도 및 성질: 선대칭도형 vs 점대칭도형의 완벽 비교와 작도법3심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 평행사변형·직사각형의 대칭축 함정과 정다각형 법칙
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개념 정의와 직관적 원리: 도형의 합동과 대응점·대응변·대응각

모양과 크기가 똑같아서 모양을 바꾸거나 늘리지 않고 포개었을 때 완전히 겹치는 두 도형을 서로 합동(Congruent)이라고 합니다. (이때 그냥 밀어서 포개어질 수도 있고, 뒤집거나 돌려서 포개어져도 모두 합동입니다!)

합동인 두 도형을 포개었을 때:

•
완전히 겹치는 꼭짓점을 대응점, 겹치는 변을 대응변, 겹치는 각을 대응각이라고 부릅니다.
•
합동인 두 도형의 절대 성질 2가지:
1
각각의 대응변의 길이가 서로 같습니다.
2
각각의 대응각의 크기가 서로 같습니다.

기호 및 명칭 표기 규칙 (순서 맞추기 필수!):

삼각형 ㄱㄴㄷ과 삼각형 ㄹㅁㅂ이 합동이라고 할 때, 꼭짓점의 읽는 순서는 반드시 대응점끼리 같은 위치에 오도록 짝을 맞추어 읽어야 합니다(점 ㄱ의 대응점은 점 ㄹ, 점 ㄴ의 대응점은 점 ㅁ, 점 ㄷ의 대응점은 점 ㅂ). 이 순서만 맞추어 놓으면 그림을 보지 않고도 선분 ㄱㄴ의 대응변이 선분 ㄹㅁ임을 1초 만에 알 수 있습니다!

핵심 원리
🎯 합동인 도형 문제 풀이 팁: 뒤집히거나 회전되어 있어 눈으로 대응변을 찾기 헷갈릴 때는, 두 도형에서 '직각(90°)'이나 '가장 짧은 변 / 가장 긴 변'을 먼저 기준으로 잡으면 대응점의 짝을 실수 없이 즉시 연결할 수 있습니다!
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핵심 공식 유도 및 성질: 선대칭도형 vs 점대칭도형의 완벽 비교와 작도법

하나의 도형 안에서 대칭미를 이루는 두 가지 대칭도형의 정의와 성질, 그리고 나머지 절반을 그리는 작도 원리입니다:

1) 선대칭도형 (Line-Symmetric Figure — 데칼코마니 원리):
•
정의: 한 직선을 따라 접었을 때 완전히 겹치는 도형이며, 그 접는 직선을 대칭축(Axis of Symmetry)이라고 합니다.
•
핵심 성질과 작도법: 대응점을 이은 선분은 대칭축과 수직(90∘90^\circ)으로 만나며, 대칭축에 의해 똑같이 반으로 나뉩니다(수직이등분). 따라서 선대칭도형을 완성할 때는 각 꼭짓점에서 대칭축에 수선을 그어 대칭축까지의 거리만큼 반대쪽으로 똑같이 연장하여 대응점을 찍고 연결합니다.
2) 점대칭도형 (Point-Symmetric Figure — 180∘180^\circ 풍차 회전 원리):
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정의: 한 점을 중심으로 도형을 180∘180^\circ 돌렸을 때 처음 도형과 완전히 겹치는 도형이며, 그 회전 중심점을 대칭의 중심(Center of Symmetry)이라고 합니다.
•
핵심 성질과 작도법: 대응점을 이은 선분은 반드시 대칭의 중심을 지나며, 대칭의 중심에 의해 길이가 똑같이 반으로 나뉩니다(이등분). 또한 점대칭도형을 대칭의 중심을 지나는 임의의 직선으로 자르면 항상 합동인 두 도형으로 나뉩니다!
풀이

1) [선대칭도형 길이와 각도]: 선대칭도형에서 대칭축은 대응점을 이은 선분 ㄱㄹ을 수직이등분합니다.

따라서 이루는 각도는 90°(직각)이고, 선분 ㄱㅎ = 선분 ㄹㅎ = 7cm 이므로 선분 ㄱㄹ = 7 × 2 = 14cm 입니다.

2) [다각형 분류]:

•
선대칭도형만 되는 것 (홀수 정다각형 등): 정삼각형(대칭축 3개), 정오각형(대칭축 5개)
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점대칭도형만 되는 것: 일반 평행사변형 (접으면 안 겹치지만 180° 돌리면 완벽히 겹침!)
•
선대칭도형이자 동시에 점대칭도형인 것: 직사각형(대칭축 2개), 정육각형(대칭축 6개)
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심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 평행사변형·직사각형의 대칭축 함정과 정다각형 법칙

단원평가와 경시대회에서 학생들이 가장 많이 속아 넘어가는 3대 단골 함정을 완벽히 정리합니다!

함정 1 (오답률 90% 최고 빈출): "평행사변형은 선대칭도형이다?" →\rightarrow 거짓!

일반적인 평행사변형은 대각선으로 접든 가로·세로로 접든 절대 겹치지 않으므로 선대칭도형이 아닙니다! (대칭축 00개). 반면 한가운데 두 대각선의 교점을 중심으로 180∘180^\circ 돌리면 완벽히 겹치므로 평행사변형은 대표적인 '점대칭도형'입니다!

함정 2: "직사각형의 대각선은 대칭축이다?" →\rightarrow 거짓!

색종이(정사각형)와 달리 가로가 긴 A4 용지(직사각형)를 대각선으로 접어보세요. 두 귀퉁이가 어긋나서 절대 겹치지 않습니다!

•
따라서 직사각형의 대칭축은 대각선이 아니라 마주 보는 변의 한가운데를 잇는 선 22개뿐입니다.
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대각선이 대칭축이 되려면 네 변의 길이가 같은 마름모(대칭축 22개)이거나 정사각형(가로·세로 22개 ++ 대각선 22개 == 총 44개)이어야 합니다!

함정 3: 정다각형과 원의 대칭축 개수 법칙:

•
정nn각형은 언제나 선대칭도형이며, 대칭축의 개수는 꼭짓점의 개수와 같은 nn개입니다.
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그중 변의 개수 nn이 짝수인 정다각형(정사각형, 정육각형, 정팔각형 등)만 선대칭도형인 동시에 점대칭도형이 됩니다! (nn이 홀수인 정삼각형, 정오각형은 180∘180^\circ 돌리면 꼭짓점이 거꾸로 향하므로 점대칭도형이 아닙니다.)
•
원(Circle)은 선대칭도형(원의 중심을 지나는 대칭축이 무수히 많음!)이자 동시에 점대칭도형(대칭의 중심 == 원의 중심)입니다.
주의할 점
🚨 사각형 대칭축 개수 완벽 암기표: • 일반 평행사변형: 선대칭 X (대칭축 0개), 점대칭 O • 등변사다리꼴: 선대칭 O (대칭축 1개), 점대칭 X • 직사각형 / 마름모: 선대칭 O (대칭축 2개 — 단, 직사각형의 대각선은 대칭축이 아님!), 점대칭 O • 정사각형: 선대칭 O (대칭축 4개), 점대칭 O

핵심 요약

  • ✓
    합동인 두 도형은 포개었을 때 완전히 겹치며, 대응변의 길이와 대응각의 크기가 각각 서로 같다.
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    선대칭도형은 대칭축을 따라 접었을 때 겹치며, 대칭축은 대응점을 이은 선분을 수직이등분한다.
  • ✓
    점대칭도형은 대칭의 중심을 기준으로 180° 돌렸을 때 겹치며, 대칭의 중심은 대응점을 이은 선분을 이등분한다.
  • ✓
    일반 평행사변형은 선대칭도형이 아닌 점대칭도형이며, 정n각형은 대칭축이 n개이고 짝수 정다각형만 점대칭도형이 된다.

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함께 풀기와 자기 설명을 거쳐 새 문제에 도전해요. 막힌 부분은 보충하고, 다른 날 다시 기억하는지 확인할 수 있어요.

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참고 근거와 확인 범위

설명·예제·문제 구성 및 오류 수정 책임: 프리런. 위 자료는 표시한 주제를 확인하거나 더 읽기 위한 근거이며, 외부 기관의 공식 수업이나 감수본을 뜻하지 않습니다.

참고 자료 연결 점검: 2026-11-02. 제작 방식·검수 범위와 수정 기록에서 확인 범위를 볼 수 있습니다. 오류는 상단의 의견 보내기 또는 contact@freelearn.io로 알려 주세요.