다각형의 둘레와 넓이 (평행사변형·삼각형·사다리꼴·마름모)

도형의 크기를 측정할 때 가장 먼저 구분해야 할 두 개념은 둘레(Perimeter)와 넓이(Area)입니다:

가로에 $1\text{cm}^2$ 타일이 $a$개씩, 세로로 $b$줄이 들어가므로:

평행사변형은 옆으로 비스듬히 기울어져 있지만, 한쪽 꼭짓점에서 밑변에 수직으로 선(높이)을 그어 튀어나온 직각삼각형 조각을 잘라 반대쪽 빈자리에 붙이면 가로는 '밑변', 세로는 '높이'인 완벽한 직사각형으로 변신합니다! 따라서:

나머지 모든 다각형의 넓이 공식은 '똑같은 도형 2개를 합치거나 직사각형으로 감싸서 절반($\div 2$)으로 나누는 원리'로 유도됩니다:

합동인 똑같은 삼각형 $2$개를 뒤집어 이어 붙이면 밑변과 높이가 똑같은 평행사변형이 됩니다. 따라서 삼각형 1개의 넓이는 평행사변형 넓이의 정확히 절반입니다:

평행한 두 변을 윗변과 아랫변이라 합니다. 똑같은 사다리꼴 $2$개를 하나를 거꾸로 뒤집어 옆에 이어 붙이면, 밑변의 길이가 $(\text{윗변} + \text{아랫변})$이고 높이가 그대로인 커다란 평행사변형이 만들어집니다! 따라서 그 넓이를 $2$로 나눕니다:

네 변의 길이가 모두 같은 마름모는 두 대각선이 서로 수직($90^\circ$)으로 만나며 이등분합니다. 마름모의 네 꼭짓점을 지나고 대각선에 평행하게 큰 직사각형을 그리면, 마름모의 넓이는 가로·세로가 두 대각선의 길이인 직사각형 넓이의 정확히 절반($4$조각씩 합동)이 됩니다:

실전 시험에서 학생들이 가장 많이 틀리는 3대 함정과 심화 원리를 점검하세요.

함정 1 (오답률 1위): 넓이가 주어지고 밑변이나 높이를 거꾸로 구할 때 '$\times 2$'를 빼먹는 실수!

"밑변이 $8\text{cm}$인 삼각형의 넓이가 $24\text{cm}^2$일 때 높이는 얼마인가?"

함정 2: 넓이 단위 환산 ($1\text{m}^2$는 $100\text{cm}^2$가 아니라 $10,000\text{cm}^2$이다!)

$1\text{m} = 100\text{cm}$이므로, 가로·세로가 모두 $1\text{m}$인 정사각형의 넓이는 $100\text{cm} \times 100\text{cm}$가 되어 $0$이 $4$개 붙습니다:

심화 원리 (평행선 사이의 등적변형):

평행한 두 직선 사이에 놓인 삼각형이나 평행사변형은 꼭짓점을 평행선을 따라 옆으로 아무리 옮겨도 밑변의 길이와 높이가 같으면 모양이 달라도 넓이는 항상 똑같습니다!