현대대수학: 군(Group)·환(Ring)·체(Field)

현대대수학(Abstract Algebra)은 구체적인 수나 행렬을 넘어, 집합 위에 주어진 연산(Operation)이 어떤 대칭성과 규칙을 만족하는가에 따라 대수적 구조를 분류하는 학문입니다.

공집합이 아닌 집합 $G$와 이항연산 $*$가 다음 4가지 조건을 만족할 때 $(G, *)$를 군(Group)이라 합니다:

유한군 $G$의 원소의 개수를 군의 위수(Order, $|G|$)라 합니다. $G$의 임의의 부분군 $H \le G$에 대하여, $H$의 좌잉여류(Left Coset) $gH = \{gh : h \in H\}$들은 모두 원소의 개수가 $|H|$로 똑같으며 $G$ 전체를 겹침 없이 분할합니다. 따라서 잉여류의 개수를 $[G : H]$ (지수, Index)라 하면 다음 등식이 항상 성립합니다:

즉, 유한군 $G$의 모든 부분군 $H$의 위수 $|H|$ (및 모든 원소 $a \in G$의 위수 $|a|$)는 반드시 전체 군의 위수 $|G|$의 약수여야 합니다!

잉여류들의 집합 $G/N$ 위에 자연스러운 군 연산 $(aN)(bN) = (ab)N$이 잘 정의되려면, 모든 $g \in G$에 대해 좌잉여류와 우잉여류가 같아야 합니다. 이를 만족하는 부분군 $N$을 정규부분군이라 합니다:

두 군 사이의 준동형사상(Homomorphism, 연산 보존 함수 $\phi(ab) = \phi(a)\phi(b)$) $\phi: G \to G'$에 대하여, 항등원 $e'$으로 가는 원소들의 모임인 핵(Kernel) $\ker(\phi) = \{g \in G : \phi(g) = e'\}$는 항상 $G$의 정규부분군($\ker(\phi) \trianglelefteq G$)이 되며, 상군 $G / \ker(\phi)$는 치역(상) $\text{Im}(\phi)$와 완벽히 동형입니다:

이 정리는 환(Ring)에서도 똑같이 성립하여, 단위원을 가진 가환환 $R$과 아이디얼 $I$에 대해 $R/I$가 체(Field) $\iff I$가 극대 아이디얼(Maximal Ideal)이고, $R/I$가 정역 $\iff I$가 소 아이디얼(Prime Ideal)이라는 핵심 정리로 이어집니다.

$d$가 $|G|$의 약수라고 해서 위수가 $d$인 부분군이 무조건 존재하는 것은 아닙니다! 가장 유명한 반례가 교대군 $A_4$ (위수 $|A_4| = 12$)로, $6$은 $12$의 약수이지만 $A_4$는 위수가 $6$인 부분군을 절대 갖지 않습니다! (단, 순환군이나 실로우 정리가 적용되는 소수 거듭제곱 약수 $p^k$에 대해서는 항상 부분군이 존재합니다.)