치환적분법과 부분적분법

미분에서는 연쇄법칙으로 어떤 합성함수든 미분할 수 있었지만, 적분에서는 곱이나 합성 형태를 바로 적분하는 만능 공식이 없습니다. 대신 미분 공식 두 개를 거꾸로 뒤집은 치환적분법과 부분적분법이 모든 복잡한 적분을 해결합니다.

피적분함수 안에 속함수 $g(x)$와 그 미분한 도함수 $g'(x)$가 곱해져 있는 형태일 때, 속함수를 $g(x) = t$로 치환하고 양변을 미분하여 $g'(x) \, dx = dt$로 바꾸어 적분합니다:

$\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx$ 꼴은 $f(x) = t$로 치환하면 $\int \frac{1}{t} \, dt$가 되므로 치환할 필요도 없이 1초 만에 자연로그 $\ln$으로 바로 적분해야 합니다:

서로 다른 종류의 두 함수(예: 다항함수 $x$와 지수함수 $e^x$, 또는 로그함수 $\ln x$)가 곱해져 있어 치환적분이 불가능할 때는 곱의 미분법 $(uv)' = u'v + uv'$을 이항하여 적분한 부분적분법을 사용합니다:

여기서 가장 중요한 핵심은 두 함수 중 누구를 미분할 함수 $u(x)$로 놓고, 누구를 적분할 함수 $v'(x)$로 놓을지 결정하는 것입니다! 미분할수록 차수가 낮아지거나 간단해지는 함수를 $u(x)$로 택하는 절대 기준이 바로 '로·다·삼·지 (LIATE)' 법칙입니다:

$\int \ln x \, dx = \int (\ln x) \cdot 1 \, dx$에서 $u = \ln x, v' = 1$로 부분적분하면:

정적분 $\int_a^b f(g(x))g'(x) \, dx$에서 $g(x) = t$로 치환할 때, 식만 $\int f(t) \, dt$로 바꾸고 적분 구간에 원래 $x$의 범위인 $a, b$를 그대로 적어 대입하면 100% 오답입니다!

이렇게 $t$의 구간으로 한번 바꾸고 나면 다시 원래 변수 $x$로 되돌릴 필요 없이 바로 $t$에 $g(b)$와 $g(a)$를 대입해 끝낼 수 있습니다!

$\int (x^2 + 2x)e^x \, dx$ 처럼 다항식의 차수가 $2$차 이상이어서 부분적분을 여러 번 반복해야 할 때는, 왼쪽 열에는 다항식을 $0$이 될 때까지 연속 미분하고 오른쪽 열에는 지수(삼각)함수를 연속 적분한 뒤, 대각선으로 $+, -, +, \dots$ 교대 부호를 붙여 곱해 더하면 5초 만에 암산으로 적분이 끝납니다: