집합과 명제, 필요충분조건

그 대상을 객관적이고 명확하게 구분할 수 있는 모임을 집합(Set)이라 하고, 집합을 이루는 대상 하나하나를 원소(Element)라고 합니다. ("키가 큰 학생들의 모임"은 기준이 주관적이므로 집합이 아닙니다!)

원소 $a$가 집합 $A$에 속할 때는 삼지창 기호 $a \in A$를 쓰고, 집합 $A$의 모든 원소가 집합 $B$에 속할 때는 두 집합 사이에 이지창 기호 $A \subset B$를 씁니다. (특히 공집합 $\emptyset$은 모든 집합의 부분집합입니다: $\emptyset \subset A$.)

부분집합의 개수 공식 ($2^n$의 원리):

원소가 $n$개인 집합 $A = \{a_1, a_2, \dots, a_n\}$의 부분집합을 만들 때, 각 원소마다 부분집합에 '넣을지($\text{O}$)' 또는 '넣지 않을지($\text{X}$)' $2$가지 선택권이 있습니다. 따라서:

합집합($A \cup B$), 교집합($A \cap B$), 여집합($A^c = U - A$)에 대하여 복잡한 집합 식을 간단히 정리할 때 가장 많이 쓰이는 두 공식입니다:

두 실수가 모두 양수($a > 0, b > 0$)라는 조건이 있을 때, 두 수의 합의 최솟값 또는 곱의 최댓값을 구하는 절대 무기입니다:

실전 빈출 함정 (전개 후 산술·기하 적용):

$(a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{4}{b}\right)$의 최솟값을 구할 때, 앞의 괄호에서 $a + b \ge 2\sqrt{ab}$, 뒤의 괄호에서 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} \ge \frac{4}{\sqrt{ab}}$를 따로 써서 곱해 최솟값을 $8$이라고 쓰면 100% 오답입니다! (앞의 등호 조건 $a=b$와 뒤의 등호 조건 $b=4a$가 동시에 성립할 수 없기 때문입니다.)