34. 함수의 극한과 연속성의 핵심 개념 요약은 무엇인가요?

x가 a에 한없이 가까워질 때의 좌극한·우극한 일치 조건, 부정형(0/0, ∞/∞) 극한의 해법과 미정계수 결정, 그리고 연속함수의 조건과 사잇값 정리를 완벽히 정복합니다. 핵심 정리: 극한값 lim_{x→a} f(x)가 존재하려면 좌극한과 우극한이 같아야 하며, 연속이려면 '좌극한 = 우극한 = 함숫값 f(a)' 이어야 한다. 0/0 꼴 부정형은 인수분해나 유리화를 통해 0을 만드는 인수 (x - a)를 약분하여 제거한 뒤 대입한다. 불연속 함수 f(x)와 연속 함수 g(x)의 곱 f(x)g(x)가 x = a에서 연속이 되려면 연속 함수가 g(a) = 0 을 만족해야 한다. 닫힌구간 [a, b]에서 연속인 함수 f(x)가 f(a)·f(b) < 0 을 만족하면 사잇값 정리에 의해 (a, b)에서 적어도 하나의 실근을 가진다.

개념 정리

글자

함수의 극한과 연속성

Q: [34. 함수의 극한과 연속성 대표 예제] 극한 등식 lim_{x→2} (√(x + a) - b) / (x - 2) = 1/4 이 성립하도록 하는 두 상수 a, b의 값을 구하시오.

1) x → 2 일 때 분모 (x - 2) → 0 이고 극한값이 1/4 로 수렴하므로, 분자도 0으로 가야 합니다: lim_{x→2} (√(x + a) - b) = √(2 + a) - b = 0 → b = √(2 + a) 입니다. 2) b 대신 √(2 + a)를 분자에 대입하고 분자를 유리화합니다: (√(x + a) - √(2 + a)) / (x - 2) = ((x + a) - (2 + a)) / ((x - 2)(√(x + a) + √(2 + a))) = (x - 2) / ((x - 2)(√(x + a) + √(2 + a))) 3) 0을 만드는 인수 (x - 2)를 약분한 뒤 x = 2를 대입하면: 1 / (2√(2 + a)) = 1/4 → √(2 + a) = 2 4) 따라서 b = √(2 + a) = 2 이고, 2 + a = 4 에서 a = 2 입니다.

단원 개요

x가 a에 한없이 가까워질 때의 좌극한·우극한 일치 조건, 부정형(0/0, ∞/∞) 극한의 해법과 미정계수 결정, 그리고 연속함수의 조건과 사잇값 정리를 완벽히 정복합니다.

선수 개념

필수 키워드:

a

는 아니면서(

x \neq a

)좌극한우극한연속

f(a)

가 정의극한값과 함숫값이 완벽히 일치좌극한

=

우극한

=

함숫값공통인수

(x - a)

다항식 분수인수분해

이 단원의 내용

1개념 정의와 직관적 원리: 좌극한·우극한의 일치와 함수의 연속 3대 조건 2핵심 공식 유도 및 성질: 부정형(0/0, ∞/∞) 극한 계산법과 미정계수 결정 3심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 합성함수의 극한(방향성 체크)과 사잇값 정리

개념 정의와 직관적 원리: 좌극한·우극한의 일치와 함수의 연속 3대 조건

1) 함수의 극한(

\lim_{x \to a} f(x) = L

)과 좌극한·우극한:

$\lim_{x \to a} f(x) = L$ 이라는 기호는 " $x$ 가 $a$ 는 아니면서( $x \neq a$ ) $a$ 에 한없이 가까워질 때, 함숫값 $f(x)$ 가 어디를 향해 다가가는가?"를 묻는 것입니다. 따라서 $x = a$ 에서의 실제 함숫값 $f(a)$ 가 존재하지 않거나 엉뚱한 곳에 찍혀 있어도 극한값은 존재할 수 있습니다!

극한값 $\lim_{x \to a} f(x) = L$ 이 존재하기 위한 필요충분조건은 왼쪽에서 다가오는 좌극한과 오른쪽에서 다가오는 우극한이 각각 존재하고 그 값이 서로 일치하는 것입니다:

\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L \quad \Longleftrightarrow \quad \lim_{x \to a} f(x) = L

2) 함수의 연속 (Continuity at

x = a

)의 3대 조건:

그래프가 $x = a$ 에서 끊어지지 않고 매끄럽게 이어져 있으려면(연속이려면), 극한값이 존재할 뿐만 아니라 그 자리에 실제 함숫값이 빈틈없이 메워져 있어야 합니다:

함숫값 $f(a)$ 가 정의되어 있고,

극한값 $\lim_{x \to a} f(x)$ 가 존재(좌극한

=

우극한)하며,

극한값과 함숫값이 완벽히 일치해야 합니다: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ (즉, 좌극한 $=$ 우극한 $=$ 함숫값!)

핵심 원리

🎯 불연속 함수 × 연속 함수 = 연속이 될 황금 조건 (수능 1순위 빈출): 함수 f(x)가 x = a에서 불연속(좌극한 ≠ 우극한)일 때, 연속함수 g(x)를 곱한 f(x)g(x)가 x = a에서 연속이 되려면 곱해지는 연속함수가 그 점에서 0이 되어 불연속의 차이를 0으로 덮어버려야 합니다 → 'g(a) = 0' !

핵심 공식 유도 및 성질: 부정형(0/0, ∞/∞) 극한 계산법과 미정계수 결정

\frac{0}{0}

꼴 부정형 극한의 해법 (범인

(x - a)

색출 및 약분!):

$x \to a$ 일 때 분모도 $0$ 이 되고 분자도 $0$ 이 되는 $\frac{0}{0}$ 꼴은, 분모와 분자에 $0$ 을 만드는 공통인수 $(x - a)$ 가 숨어 있다는 뜻입니다:

•

다항식 분수: 분모·분자를 인수분해하여

(x - a)

를 약분한 뒤

x = a

를 대입합니다.

•

무리식( $\sqrt{\quad}$ ) 포함 분수: 근호가 있는 쪽(분자 또는 분모)을 유리화(켤레식

\sqrt{A} + \sqrt{B}

곱하기)하면

(x - a)

가 나타나 약분됩니다.

\frac{\infty}{\infty}

꼴 부정형 극한의 차수 비교 법칙 (

x \to \infty

•

(분모 차수) $>$ (분자 차수)

\implies

$0$ 으로 수렴

•

(분모 차수) $<$ (분자 차수)

\implies

\pm \infty

로 발산

•

(분모 차수) $=$ (분자 차수)

\implies

$\frac{\text{분자의 최고차항 계수}}{\text{분모의 최고차항 계수}}$ 로 수렴!

3) 미정계수 결정 원리:

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = L$ (수렴)에서:

•

(분모) $\to 0$ 이면 반드시 (분자) $\to 0$ 이다!

•

특히 수렴값 $L \neq 0$ 인데 (분자) $\to 0$ 이면 반드시 (분모) $\to 0$ 이다!

풀이

1) x → 2 일 때 분모 (x - 2) → 0 이고 극한값이 1/4 로 수렴하므로, 분자도 0으로 가야 합니다:

lim_{x→2} (√(x + a) - b) = √(2 + a) - b = 0 → b = √(2 + a) 입니다.

2) b 대신 √(2 + a)를 분자에 대입하고 분자를 유리화합니다:

(√(x + a) - √(2 + a)) / (x - 2) = ((x + a) - (2 + a)) / ((x - 2)(√(x + a) + √(2 + a))) = (x - 2) / ((x - 2)(√(x + a) + √(2 + a)))

3) 0을 만드는 인수 (x - 2)를 약분한 뒤 x = 2를 대입하면:

1 / (2√(2 + a)) = 1/4 → √(2 + a) = 2

4) 따라서 b = √(2 + a) = 2 이고, 2 + a = 4 에서 a = 2 입니다.

심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 합성함수의 극한(방향성 체크)과 사잇값 정리

1) 실전 오답 1위 함정 — 합성함수

\lim_{x \to a^+} g(f(x))

의 극한에서 속함수의 방향성(

+, -

, 상수) 체크!

합성함수의 극한을 구할 때 속함수 $t = f(x)$ 가 단순히 숫자 $b$ 로 간다고 해서 바로 $g(b)$ 를 넣으면 불연속 함수에서 $100\%$ 틀립니다! 반드시 $t = f(x)$ 가 $b$ 로 다가갈 때 아래에서 올라가는지( $b^-$ ), 위에서 내려오는지( $b^+$ ), 아니면 아예 수평선 상수( $b$ )로 고정되어 가는지 3가지를 구분해야 합니다:

•

속함수 그래프가 $b$ 보다 큰 위쪽에서 $b$ 로 내려오면

\implies t \to b^+

이므로 겉함수의 우극한 $\lim_{t \to b^+} g(t)$ 를 읽습니다.

•

속함수 그래프가 $b$ 보다 작은 아래쪽에서 $b$ 로 올라가면

\implies t \to b^-

이므로 겉함수의 좌극한 $\lim_{t \to b^-} g(t)$ 를 읽습니다.

•

속함수 그래프가 $b$ 와 똑같은 수평선 상수로 다가오면

\implies t = b

(움직이지 않음!)이므로 극한이 아니라 겉함수의 함숫값 $g(b)$ 를 읽어야 합니다!

2) 최대·최소 정리와 사잇값 정리 (Intermediate Value Theorem):

•

최대·최소 정리: 함수

f(x)

가 닫힌구간

[a, b]

에서 연속이면 반드시 그 구간에서 최댓값과 최솟값을 가집니다.

•

사잇값 정리 (실근의 존재성 판별): 함수

f(x)

가 닫힌구간

[a, b]

에서 연속이고 양 끝점의 함숫값의 부호가 서로 반대이면( $f(a) \cdot f(b) < 0$ ), 열린구간

(a, b)

안에

f(c) = 0

이 되는 실근 $c$ 가 적어도 하나 존재합니다!

주의할 점

⚠️ x → -∞ (음의 무한대) 무리식 극한 함정: x → -∞ 가 나오면 절대 그대로 계산하지 마세요! √x² = |x| = -x 부호 실수를 피하기 위해 무조건 첫 줄에서 'x = -t (t → +∞)' 로 치환하여 양의 무한대 극한으로 바꾼 뒤 푸는 것이 가장 안전합니다!

핵심 요약

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극한값 lim_{x→a} f(x)가 존재하려면 좌극한과 우극한이 같아야 하며, 연속이려면 '좌극한 = 우극한 = 함숫값 f(a)' 이어야 한다.
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0/0 꼴 부정형은 인수분해나 유리화를 통해 0을 만드는 인수 (x - a)를 약분하여 제거한 뒤 대입한다.
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불연속 함수 f(x)와 연속 함수 g(x)의 곱 f(x)g(x)가 x = a에서 연속이 되려면 연속 함수가 g(a) = 0 을 만족해야 한다.
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닫힌구간 [a, b]에서 연속인 함수 f(x)가 f(a)·f(b) < 0 을 만족하면 사잇값 정리에 의해 (a, b)에서 적어도 하나의 실근을 가진다.

함수의 극한과 연속성

개념 정의와 직관적 원리: 좌극한·우극한의 일치와 함수의 연속 3대 조건

핵심 공식 유도 및 성질: 부정형(0/0, ∞/∞) 극한 계산법과 미정계수 결정

심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 합성함수의 극한(방향성 체크)과 사잇값 정리

핵심 요약

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34. 함수의 극한과 연속성 단원 연습 문제

참고 근거와 확인 범위