자료의 정리와 대푯값 (막대·꺾은선그래프와 평균)
개념 정의와 직관적 원리: 자료의 특성에 따른 그래프의 종류와 선택 기준
수집한 숫자들이 나열된 표는 정확한 수치를 알기에는 좋지만, 전체적인 크기나 변화 추세를 한눈에 파악하기 어렵습니다. 이를 시각적으로 한눈에 볼 수 있게 나타낸 것이 그래프(Graph)이며, 자료의 성격에 따라 알맞은 그래프를 선택해야 합니다:
핵심 공식 유도 및 성질: 대푯값으로서의 평균(Average)과 총합 복원 공식
여러 개의 자료가 있을 때, 울퉁불퉁한 값들의 높은 곳을 깎아 낮은 곳에 메워서 모든 자료의 크기를 고르게 평평하게 맞춘 대표 숫자를 평균(Average / Mean)이라고 합니다.
모든 자료의 값을 다 더한 자료의 값의 총합을 자료의 개수(항목 수)로 나눕니다:
위 공식의 양변에 (자료의 수)를 곱하면 모든 응용 문제를 푸는 만능 열쇠가 나옵니다:
즉, 문제에 "5과목의 평균이 점이다"라는 문장이 나오는 순간, 각 과목이 몇 점인지는 몰라도 5과목 점수의 총합은 점이라는 사실을 즉시 옆에 적어두어야 합니다!
1) [목표 총합 구하기]: 5번의 시험 평균이 88점이 되려면 5번 점수의 총합은 (평균) × (자료의 수) = 88 × 5 = 440점이 되어야 합니다.
2) [현재까지의 합 구하기]: 지금까지 본 4번의 점수 합은 82 + 90 + 85 + 87 = 344점입니다.
3) [5번째 시험 점수 구하기]: 목표 총합에서 현재 합을 빼면 440 - 344 = 96점입니다. 따라서 5번째 시험에서 96점을 받아야 합니다.
심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 가중평균 함정과 0이 포함된 자료의 개수 함정
통계 단원에서 학생들과 성인들까지 가장 많이 틀리는 3대 실전 함정을 완벽히 정복합시다.
함정 1 (오답률 1위): 인원수가 다른 두 집단을 합친 전체 평균을 구할 때 '평균끼리 더해서 2로 나누는' 실수!
"A반 학생 명의 평균이 점이고, B반 학생 명의 평균이 점일 때, 두 반 전체 학생 명의 평균은 몇 점인가?"
함정 2: 자료의 값 중에 ''이 있을 때 자료의 수에서 빼버리는 실수!
5일 동안 읽은 책의 권수가 권, 권, 권, 권, 권일 때 평균을 구하면서, 권은 더할 필요가 없다고 생각하여 자료의 개수도 로 나누어 권으로 쓰면 오답입니다! 권도 당당한 하루치 기록이므로 반드시 전체 일수인 로 나누어 으로 답해야 합니다.
함정 3: 물결선이 있는 두 꺾은선그래프의 비교:
물결선으로 눈금을 생략한 정도가 서로 다른 두 그래프를 놓고 기울기만 눈으로 비교해 "A가 더 급격히 변했다"고 속단하면 안 됩니다. 반드시 실제 숫자의 차이를 읽어서 비교해야 합니다!
핵심 요약
- ✓막대그래프는 항목별 수량의 크기 비교에 유리하고, 꺾은선그래프는 시간에 따른 연속적인 변화 경향 파악에 유리하다.
- ✓꺾은선그래프에서 물결선은 불필요한 눈금을 생략하여 작은 변화를 뚜렷하게 나타내며, 먼저 한 칸의 눈금 크기를 확인해야 한다.
- ✓평균은 (자료의 값의 총합) ÷ (자료의 수) 이며, 역산할 때는 '총합 = 평균 × 자료의 수' 공식을 가장 먼저 사용한다.
- ✓인원수가 다른 두 집단 전체의 평균을 구할 때는 두 집단의 총합을 각각 구해 더한 뒤 전체 인원수로 나누어야 한다.