조건부 확률과 독립시행의 확률

주사위를 던지거나 제비를 뽑을 때, 먼저 일어난 사건 $A$가 나중에 일어날 사건 $B$의 확률을 변화시키는가(예: 뽑은 제비를 다시 넣지 않는 비복원추출) 아니면 전혀 영향을 주지 않는가(예: 뽑은 제비를 확인하고 다시 넣는 복원추출)를 수학적으로 구분하는 개념이 독립과 종속입니다.

사건 $A$가 일어났을 때 사건 $B$의 조건부 확률이 사건 $A$가 일어나지 않았을 때나 원래 사건 $B$의 확률과 똑같을 때, 즉

일 때 두 사건 $A$와 $B$는 서로 독립(Independent)이라고 하며, 독립이 아닌 두 사건을 서로 종속(Dependent)이라고 합니다.

조건부 확률 정의 $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = P(B)$의 양변에 $P(A)$를 곱하면, 시험에서 두 사건의 독립 여부를 판별하는 유일한 실전 공식(곱셈정리)이 도출됩니다:

두 사건 $A$와 $B$가 서로 독립이면, 다음 세 쌍의 사건들도 모두 자동으로 서로 독립입니다!

주사위나 동전을 여러 번 던지는 것처럼, 매 시행마다 어떤 사건 $A$가 일어날 확률이 $p$로 항상 일정하고 각 시행의 결과가 서로 독립인 시행을 독립시행이라 합니다.

$1$회 시행에서 사건 $A$가 일어날 확률을 $p$, 일어나지 않을 확률을 $q = 1 - p$라 할 때, 이 시행을 $n$번 반복하여 사건 $A$가 정확히 $r$번 일어날 확률은:

독립시행 단원에서 학생들이 가장 많이 틀리는 최고난도 빈출 함정 유형을 완벽히 분석합니다!

함정 (별표 5개): "$n$번째 경기에서 최종 우승팀이 결정될 확률" (한국시리즈·월드시리즈 유형)

"두 팀 $A, B$가 경기를 하여 먼저 $3$승을 거두는 팀이 최종 우승하기로 한다. 매 경기에서 $A$팀이 이길 확률이 $\frac{1}{2}$일 때, $4$번째 경기에서 $A$팀이 우승으로 확정될 확률을 구하시오."

$k$번째 시행에서 $m$번째 성공이 달성되어 게임이 끝날 확률을 구할 때는 반드시 두 구간으로 나누어 곱해야 합니다: