수학>기하 4>21. 삼각비의 기초 (sin, cos, tan)
개념 정리

삼각비의 기초 (sin, cos, tan)

단원 개요
직각삼각형의 닮음에서 탄생한 삼각비(sin, cos, tan)의 정의와 0°~90° 특수각 삼각비 표, 사분원 위에서의 대소 관계, 그리고 삼각형의 넓이 공식(1/2 ab sin C)을 완벽히 마스터합니다.
선수 개념
필수 키워드:AA 닮음두 변의 길이의 비율은 항상 일정한 상수삼각비(Trigonometric Ratio)기준각 AAs,c,ts, c, t사인(sin⁡A\sin A)높이(∠A\angle A의 대변)코사인(cos⁡A\cos A)밑변(∠A\angle A의 이웃변)탄젠트(tan⁡A\tan A)
이 단원의 내용
1개념 정의와 직관적 원리: 직각삼각형의 크기와 무관한 변의 비율2핵심 공식 유도 및 성질: 특수각(0°, 30°, 45°, 60°, 90°) 삼각비 표와 사분원3심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 45° 기준 대소 비교와 삼각형·사각형 넓이 공식

개념 도해

각에 따라 정해지는 세 변의 비

bacθ

기준각 θ를 정하면 맞은편 변, 이웃한 변, 빗변의 비를 읽을 수 있어요.

sin θ = 높이/빗변 · cos θ = 밑변/빗변 · tan θ = 높이/밑변

1

개념 정의와 직관적 원리: 직각삼각형의 크기와 무관한 변의 비율

한 예각의 크기가 ∠A\angle A로 같은 모든 직각삼각형(∠C=90∘\angle C = 90^\circ)은 크기가 아무리 달라도 모두 AA 닮음입니다. 따라서 직각삼각형의 크기에 상관없이 각 ∠A\angle A의 크기만 정해지면 두 변의 길이의 비율은 항상 일정한 상수가 됩니다! 이 비율을 삼각비(Trigonometric Ratio)라고 합니다.

∠C=90∘\angle C = 90^\circ인 직각삼각형 ABCABC에서 ∠A,∠B,∠C\angle A, \angle B, \angle C의 대변의 길이를 각각 a,b,ca, b, c라 할 때, 기준각 AA에 대한 삼각비는 필기체 알파벳 s,c,ts, c, t를 그리는 방향으로 정의됩니다:

•
사인(sin⁡A\sin A): 빗변에 대한 높이(∠A\angle A의 대변)의 비   ⟹  sin⁡A=높이빗변=ac\implies \sin A = \frac{\text{높이}}{\text{빗변}} = \frac{a}{c}
•
코사인(cos⁡A\cos A): 빗변에 대한 밑변(∠A\angle A의 이웃변)의 비   ⟹  cos⁡A=밑변빗변=bc\implies \cos A = \frac{\text{밑변}}{\text{빗변}} = \frac{b}{c}
•
탄젠트(tan⁡A\tan A): 밑변에 대한 높이의 비   ⟹  tan⁡A=높이밑변=ab\implies \tan A = \frac{\text{높이}}{\text{밑변}} = \frac{a}{b}

여기서 직선의 기울기 정의 (y증가량)/(x증가량)=(높이)/(밑변)(y\text{증가량})/(x\text{증가량}) = (\text{높이})/(\text{밑변})에 의해, 직선이 xx축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 θ\theta일 때 직선의 기울기는 곧 tan⁡θ\tan \theta와 같습니다!

핵심 원리
🎯 삼각비 세 개 중 단 하나만 알아도 나머지 두 개를 즉시 구할 수 있습니다! 예를 들어 sin A = 3/5 가 주어지면, 빗변이 5이고 높이가 3인 직각삼각형을 바로 그린 뒤 피타고라스 정리로 밑변 4를 구해 cos A = 4/5, tan A = 3/4 를 3초 만에 읽어내세요!
2

핵심 공식 유도 및 성질: 특수각(0°, 30°, 45°, 60°, 90°) 삼각비 표와 사분원

1) 절대 암기해야 할 특수각(0∘,30∘,45∘,60∘,90∘0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ) 삼각비 값:

정삼각형을 반으로 자른 직각삼각형(30∘,60∘,90∘  ⟹  1:3:230^\circ, 60^\circ, 90^\circ \implies 1 : \sqrt{3} : 2)과 정사각형을 대각선으로 자른 직각삼각형(45∘,45∘,90∘  ⟹  1:1:245^\circ, 45^\circ, 90^\circ \implies 1 : 1 : \sqrt{2}), 그리고 반지름이 11인 사분원(단위원)으로부터 다음 표가 완성됩니다:

•
sin⁡θ\sin \theta (0∘→90∘0^\circ \to 90^\circ 갈수록 증가: 02→42\frac{\sqrt{0}}{2} \to \frac{\sqrt{4}}{2}):
sin⁡0∘=0,sin⁡30∘=12,sin⁡45∘=22,sin⁡60∘=32,sin⁡90∘=1\sin 0^\circ = 0, \quad \sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 90^\circ = 1
•
cos⁡θ\cos \theta (0∘→90∘0^\circ \to 90^\circ 갈수록 감소: sin⁡\sin의 역순!):
cos⁡0∘=1,cos⁡30∘=32,cos⁡45∘=22,cos⁡60∘=12,cos⁡90∘=0\cos 0^\circ = 1, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \quad \cos 90^\circ = 0
•
tan⁡θ\tan \theta (×3\times \sqrt{3}씩 증가):
tan⁡0∘=0,tan⁡30∘=13=33,tan⁡45∘=1,tan⁡60∘=3,(tan⁡90∘는 정의되지 않음)\tan 0^\circ = 0, \quad \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad \tan 45^\circ = 1, \quad \tan 60^\circ = \sqrt{3}, \quad (\tan 90^\circ \text{는 정의되지 않음})
2) 반지름이 11인 사분원에서의 선분 표현:

반지름이 11인 사분원에서 동경이 원과 만나는 점에서 내린 수선(분모가 11이 되는 직각삼각형)은 높이가 곧 sin⁡θ\sin\theta, 밑변이 곧 cos⁡θ\cos\theta가 되고, (1,0)(1, 0)에서의 접선과 만나는 높이가 tan⁡θ\tan\theta가 됩니다.

풀이

1) [삼각비 식 계산]:

•
sin 60° × tan 30° = (√3 / 2) × (1 / √3) = 1/2
•
cos 45° ÷ sin 45° = (√2 / 2) ÷ (√2 / 2) = 1
•
cos 0° = 1, sin 90° = 1

따라서 1/2 + 1 - 1 + 1 = 3/2 입니다.

2) [삼각형 넓이 공식 적용]: 두 변 a = 6, b = 8 과 끼인각 C = 60° 가 주어졌으므로 S = (1/2)ab sin C 공식을 씁니다.

S = (1/2) × 6 × 8 × sin 60° = 24 × (√3 / 2) = 12√3 (cm²) 입니다.

3

심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 45° 기준 대소 비교와 삼각형·사각형 넓이 공식

1) 0∘<θ<90∘0^\circ < \theta < 90^\circ에서 sin⁡θ,cos⁡θ,tan⁡θ\sin\theta, \cos\theta, \tan\theta의 대소 관계와 절댓값·루트 벗기기 함정:

(sin⁡θ−cos⁡θ)2=∣sin⁡θ−cos⁡θ∣\sqrt{(\sin\theta - \cos\theta)^2} = |\sin\theta - \cos\theta| 꼴의 문제를 풀려면 45∘45^\circ를 경계로 누가 더 큰지 정확히 알아야 합니다:

•
0∘<θ<45∘0^\circ < \theta < 45^\circ 일 때: 코사인이 사인보다 큽니다! (sin⁡θ<cos⁡θ\mathbf{\sin\theta < \cos\theta})
•
θ=45∘\theta = 45^\circ 일 때: sin⁡45∘=cos⁡45∘=22<tan⁡45∘=1\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} < \tan 45^\circ = 1
•
45∘<θ<90∘45^\circ < \theta < 90^\circ 일 때: 탄젠트가 11을 넘어가며 압도적 1등이 되고, 사인이 코사인을 역전합니다!
cos⁡θ<sin⁡θ<1<tan⁡θ\mathbf{\cos\theta < \sin\theta < 1 < \tan\theta}
2) 삼각비를 이용한 도형의 넓이 3대 공식 (수능까지 직결):
•
삼각형의 넓이 (두 변 a,ba, b와 끼인각 CC가 주어질 때):
S=12absin⁡C(만약 C가 둔각이면 sin⁡(180∘−C)를 곱함)S = \frac{1}{2} ab \sin C \quad \big(\text{만약 } C\text{가 둔각이면 } \sin(180^\circ - C)\text{를 곱함}\big)
•
평행사변형의 넓이 (이웃한 두 변 a,ba, b와 끼인각 θ\theta): 삼각형 22개이므로 12\frac{1}{2}이 사라져 S=absin⁡θS = ab \sin\theta
•
일반 사각형의 넓이 (두 대각선의 길이 p,qp, q와 두 대각선이 이루는 각 θ\theta가 주어질 때 — 함정 주의!):
S=12pqsin⁡θ(대각선이 주어졌을 때는 다시 앞에 12이 붙습니다!)S = \frac{1}{2} pq \sin\theta \quad (\text{대각선이 주어졌을 때는 다시 앞에 } \frac{1}{2}\text{이 붙습니다!})
주의할 점
🚨 사각형 넓이 공식 1/2 유무 함정: 평행사변형의 '이웃한 두 변 a, b'가 주어지면 S = ab sinθ (1/2 없음!)이지만, 사각형의 '두 대각선 p, q'가 주어지면 S = (1/2)pq sinθ (1/2 있음!)입니다. 변인지 대각선인지 반드시 확인하세요!

핵심 요약

  • ✓
    직각삼각형에서 sin A = 높이/빗변, cos A = 밑변/빗변, tan A = 높이/밑변 이며, 직선의 기울기는 tan θ 이다.
  • ✓
    특수각(0°, 30°, 45°, 60°, 90°)에서 sin은 0에서 1로 증가하고, cos은 1에서 0으로 감소하며, 45°에서 둘이 같아진다.
  • ✓
    45° < θ < 90° 범위에서는 항상 cos θ < sin θ < 1 < tan θ 의 대소 관계가 성립한다.
  • ✓
    두 변 a, b와 끼인각 C가 주어진 삼각형의 넓이는 S = (1/2)ab sin C 로 구한다.

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참고 근거와 확인 범위

설명·예제·문제 구성 및 오류 수정 책임: 프리런. 위 자료는 표시한 주제를 확인하거나 더 읽기 위한 근거이며, 외부 기관의 공식 수업이나 감수본을 뜻하지 않습니다.

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