일반위상수학: 콤팩트성과 연결성

실수 공간 $\mathbb{R}^n$에서는 두 점 사이의 거리 $d(x, y)$를 이용한 $\varepsilon$-$\delta$ 논법으로 연속함수를 정의했습니다. 그러나 거리 개념이 없는 추상적 공간에서도 "가까움"과 "연속적 변형"을 다루기 위해, 열린구간(Open Interval)의 핵심 성질만 추출하여 공리화한 것이 위상공간(Topological Space)입니다.

집합 $X$의 부분집합들의 모임 $\mathcal{T} \subseteq \mathcal{P}(X)$가 다음 위상의 3대 공리를 만족할 때, $\mathcal{T}$를 $X$ 위의 위상(Topology)이라 하고 $\mathcal{T}$의 원소 $U \in \mathcal{T}$를 열린집합(개집합, Open Set)이라 부릅니다:

열린집합의 여집합 $F = X \setminus U$를 닫힌집합(폐집합, Closed Set)이라 합니다. 이때 두 위상공간 사이의 함수 $f: (X, \mathcal{T}_X) \to (Y, \mathcal{T}_Y)$가 연속(Continuous)이라는 것은 $\varepsilon$-$\delta$ 없이 단 한 줄로 정의됩니다:

위상동형사상(Homeomorphism)에 의해 보존되는 가장 중요한 위상적 불변량(Topological Invariant) 두 가지는 콤팩트성과 연결성입니다.

위상공간 $X$를 덮는 임의의 열린집합들의 모임(열린 피복, Open Cover) $\mathcal{U} = \{U_\alpha\}_{\alpha \in I}$ ($X = \bigcup_{\alpha \in I} U_\alpha$)에 대하여, 그중 유한 개만 골라내어도 여전히 $X$ 전체를 덮을 수 있을 때 ($X = U_{\alpha_1} \cup \cdots \cup U_{\alpha_n}$인 유한 부분 피복, Finite Subcover 존재), 공간 $X$를 콤팩트(Compact)하다고 정의합니다.

공간 $X$를 공집합이 아닌 두 개의 서로소인 열린집합 $U, V$의 합집합($X = U \cup V, \; U \cap V = \emptyset$)으로 쪼갤 수 없을 때(즉, $X$ 안에서 열린집합인 동시에 닫힌집합인 개폐집합 Clopen Set이 $\emptyset$과 $X$뿐일 때) $X$를 연결 공간이라 합니다.

연속함수 $f: X \to Y$에 대하여 $X$가 콤팩트이면 상 $f(X)$도 콤팩트(최대·최소 정리의 일반화)이고, $X$가 연결이면 상 $f(X)$도 연결(사잇값 정리의 일반화)입니다!

대학원 입시 및 임용고시 위상수학에서 가장 자주 출제되는 3대 핵심 명제와 반례 함정을 완벽히 정리합니다.

임의의 서로 다른 두 점 $x \neq y$에 대하여 서로 만나지 않는($U \cap V = \emptyset$) 각각의 열린 근방 $x \in U, y \in V$가 항상 존재하는 공간을 하우스도르프 공간이라 합니다(모든 거리공간은 하우스도르프 공간입니다). 하우스도르프 공간에서는 수렴하는 점열의 극한이 유일하며, 다음 두 정리가 결합되어 엄청난 위력을 발휘합니다: