연습 문제

49. 일반위상수학: 콤팩트성과 하이네-보렐 정리 (수학 연구 2)

문제에 답하고 제출하면 정답과 풀이를 확인할 수 있습니다. 한 세트는 5문항으로 구성됩니다.

아래의 기본 문제를 먼저 풀어 보세요. 자동 채점 화면은 자바스크립트가 켜진 브라우저에서 이용할 수 있습니다.

문제와 해설로 복습하기

이 단원의 기본 문제 5개입니다. 먼저 스스로 풀고, 힌트와 해설을 열어 풀이 과정을 비교해 보세요. 위의 채점 연습에서는 기본 문제를 다시 풀거나, 지원되는 수학 단원의 변형 문제를 풀 수 있습니다.

기본 문제 1

실수선의 구간 [0,1]은 콤팩트합니까?
  1. 예
  2. 아니요, 열린 집합이라서
  3. 아니요, 유계라서
  4. 정의할 수 없다
힌트 보기유클리드 공간에서는 닫히고 유계인 집합이 콤팩트입니다.
정답과 풀이 보기
정답: 예

  1. 1. 풀이

    [0,1]은 닫힌 유계 구간이므로 하이네-보렐 정리에 따라 콤팩트입니다.

기본 문제 2

콤팩트 집합의 열린 덮개가 주어졌을 때 콤팩트성의 정의가 보장하는 것은?
  1. 유한 부분덮개가 존재한다
  2. 가산 부분덮개만 존재한다
  3. 모든 열린 덮개가 유한하다
  4. 유한 부분덮개가 존재하지 않는다
힌트 보기열린 덮개 전체 중 유한 개만 골라 같은 집합을 덮습니다.
정답과 풀이 보기
정답: 유한 부분덮개가 존재한다

  1. 1. 풀이

    콤팩트성은 모든 열린 덮개에서 유한 개의 열린집합만으로 이루어진 부분덮개를 뽑을 수 있다는 성질입니다.

기본 문제 3

실수선의 열린 구간 (0,1)은 콤팩트합니까?
  1. 아니요
  2. 예, 모든 유계 집합은 콤팩트
  3. 예, 열린 집합은 항상 콤팩트
  4. 끝점이 없어도 항상 콤팩트
힌트 보기유클리드 공간에서 콤팩트하려면 닫히고 유계여야 합니다.
정답과 풀이 보기
정답: 아니요

  1. 1. 풀이

    (0,1)은 유계이지만 닫힌 집합이 아니므로 콤팩트하지 않습니다.

기본 문제 4

콤팩트 집합의 연속함수 아래 상은 어떤 성질을 가집니까?
  1. 콤팩트하다
  2. 열린 집합이다
  3. 닫힌 집합이지만 비유계이다
  4. 항상 유한집합이다
힌트 보기연속함수는 콤팩트성의 유한 부분덮개 성질을 보존합니다.
정답과 풀이 보기
정답: 콤팩트하다

  1. 1. 풀이

    콤팩트 집합 K와 연속함수 f에 대해 f(K)는 콤팩트 집합입니다.

기본 문제 5

콤팩트 집합의 닫힌 부분집합은 콤팩트합니까?
  1. 예
  2. 아니요, 닫힌 집합은 절대 콤팩트하지 않음
  3. 유한집합일 때만
  4. 열린 집합일 때만
힌트 보기콤팩트 공간의 닫힌 부분집합 정리를 적용합니다.
정답과 풀이 보기
정답: 예

  1. 1. 풀이

    콤팩트 집합 안의 닫힌 부분집합은 항상 콤팩트입니다.

참고 근거와 확인 범위

설명·예제·문제 구성 및 오류 수정 책임: 프리런. 위 자료는 표시한 주제를 확인하거나 더 읽기 위한 근거이며, 외부 기관의 공식 수업이나 감수본을 뜻하지 않습니다.

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