유리함수와 무리함수

분모에 미지수 $x$가 포함된 분수함수

의 그래프는 기본형 $y = \frac{k}{x}$의 쌍곡선을 $x$축 방향으로 $p$만큼, $y$축 방향으로 $q$만큼 평행이동한 것입니다. 분모가 $0$이 될 수 없으므로 정의역은 $\{x \mid x \neq p\text{인 실수}\}$, 치역은 $\{y \mid y \neq q\text{인 실수}\}$입니다.

여기서 그래프가 한없이 가까워지지만 결코 닿지 않는 두 직선인 점근선(Asymptote)과 대칭성이 유리함수의 전부입니다:

근호($\sqrt{\quad}$) 안에 미지수 $x$가 포함된 무리함수(Irrational Function)는 반드시 $x$의 계수 $a$로 묶어낸 표준형으로 바꾸어 해석합니다:

실수 범위에서 근호 안의 식은 항상 $0$ 이상($a(x - p) \ge 0$)이어야 하므로, 그래프는 이차함수 포물선의 절반을 옆으로 눕혀 놓은 모양이 되며 '시작점(꼭짓점)'과 '뻗어나가는 방향' 두 가지만 찾으면 끝납니다:

고등학교 1학년 기말고사에서 오답률 1위를 기록하는 킬러 주제는 "무리함수 $y = \sqrt{x - p}$의 그래프와 직선 $y = x + k$가 서로 다른 두 점에서 만날 $k$의 값의 범위"를 구하는 문제입니다.

치명적 함정 (양변 제곱 후 판별식 $D > 0$만 푸는 실수!):

두 식을 연립하여 $\sqrt{x - p} = x + k$의 양변을 제곱해 $x - p = (x + k)^2$을 만든 순간, 원래 없던 아래쪽 반쪽 포물선($y = -\sqrt{x - p}$)까지 유령처럼 살아나 완전한 포물선 전체와 직선의 교점을 구하는 식이 되어버립니다! 따라서 판별식 $D > 0$만 풀면 가짜 교점까지 포함되어 무조건 틀립니다.

반드시 그래프를 그려서 해결하는 2대 경계선 공식:

기울기가 $1$인 직선 $y = x + k$를 위아래로 평행이동하면서 실제 무리함수 곡선과 두 점에서 만나는 두 경계를 찾습니다: