고유값과 고유벡터(Eigenvalues)

일반적으로 정사각행렬 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$를 벡터 $\mathbf{x}$에 곱하면($A\mathbf{x}$), 벡터의 크기뿐만 아니라 방향까지 복잡하게 휘어지고 회전합니다. 그러나 공간 안에는 행렬 $A$에 의해 변환되어도 원래 직선 방향에서 전혀 벗어나지 않고 오직 길이만 $\lambda$배로 늘어나거나 줄어드는(또는 반대 방향이 되는) 아주 특별한 벡터들이 존재합니다!

영벡터가 아닌 벡터 $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$가 어떤 스칼라 $\lambda$에 대하여 다음 방정식을 만족할 때:

이때 스칼라 $\lambda$를 행렬 $A$의 고유값(Eigenvalue, 특성값)이라 하고, 영벡터가 아닌 벡터 $\mathbf{v}$를 고유값 $\lambda$에 대응하는 고유벡터(Eigenvector)라고 부릅니다.

$A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$를 이항하여 항등행렬 $I$를 이용해 묶으면 동차 선형 연립방정식이 됩니다:

이 방정식이 영벡터가 아닌 해(비자명해 $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$, 즉 고유벡터)를 가지려면, 계수행렬 $(A - \lambda I)$가 역행렬을 갖지 않아야 하므로 행렬식이 $0$이어야 합니다:

이를 $A$의 특성방정식이라 하며, 특히 $2 \times 2$ 행렬 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$의 특성방정식은 대각합($\text{tr}(A) = a + d$)과 행렬식($\det(A) = ad - bc$)으로 즉시 세울 수 있습니다:

$n \times n$ 행렬 $A$의 $n$개의 고유값을 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$ (중근 포함)이라 하면 항상 다음이 성립합니다:

$n \times n$ 행렬 $A$가 $n$개의 선형 독립인 고유벡터 $\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n$을 가질 때, 이 고유벡터들을 열벡터로 나란히 세운 가역행렬 $P = \begin{pmatrix} \mathbf{v}_1 & \cdots & \mathbf{v}_n \end{pmatrix}$와 고유값들을 대각성분에 놓은 대각행렬 $D = \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$에 대하여 다음 대각화 공식이 성립합니다:

$A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$이면 고유벡터 $\mathbf{v}$는 그대로 유지된 채 고유값만 바뀝니다: