18. 삼각형의 성질과 오심 (내심·외심·무게중심)의 핵심 개념 요약은 무엇인가요?

이등변삼각형과 직각삼각형의 합동(RHA·RHS)부터 삼각형의 중심인 외심(O), 내심(I), 무게중심(G)의 작도 원리와 각도·넓이·길이 비율 공식을 완벽히 마스터합니다. 핵심 정리: 외심(O)은 세 변의 수직이등분선의 교점으로 세 꼭짓점까지의 거리가 같으며, 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이다. 내심(I)은 세 내각의 이등분선의 교점으로 세 변까지의 거리가 같으며, 삼각형 넓이 S = (1/2)r(a + b + c) 가 성립한다. 꼭지각 ∠A에 대하여 외심 중심각은 ∠BOC = 2∠A 이고, 내심 중심각은 ∠BIC = 90° + (1/2)∠A 이다. 무게중심(G)은 세 중선의 교점으로 각 중선을 꼭짓점으로부터 2:1로 내분하며 세 중선은 넓이를 6등분한다.

개념 정리

글자

삼각형의 성질과 오심 (내심·외심·무게중심)

단원 개요

이등변삼각형과 직각삼각형의 합동(RHA·RHS)부터 삼각형의 중심인 외심(O), 내심(I), 무게중심(G)의 작도 원리와 각도·넓이·길이 비율 공식을 완벽히 마스터합니다.

선수 개념

필수 키워드:외심(Circumcenter,

O

)내심(Incenter,

I

)삼각형의 외심 (

O

) — 외접원의 중심작도 정의세 변의 수직이등분선의 교점세 꼭짓점에 이르는 거리가 모두 같습니다외심의 위치 (빈출!)내부외부직각삼각형의 외심은 항상 '빗변의 중점'

이 단원의 내용

1개념 정의와 직관적 원리: 외심(O) vs 내심(I)의 결정적 비교 2핵심 공식 유도 및 성질: 외심·내심의 각도 공식, 내접원 넓이 공식, 무게중심(G)3심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 외심·내심 합동 조각 구분과 접선의 길이

개념 정의와 직관적 원리: 외심(O) vs 내심(I)의 결정적 비교

삼각형의 오심(외심, 내심, 무게중심, 수심, 방심) 중 중·고등 기하의 핵심인 외심(Circumcenter, $O$ )과 내심(Incenter, $I$ )은 서로 완벽한 대칭 구조를 이루므로 반드시 짝지어 비교해야 합니다.

1) 삼각형의 외심 (

O

) — 외접원의 중심:

•

작도 정의: 삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점입니다.

•

핵심 성질: 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리가 모두 같습니다 (

\overline{OA} = \overline{OB} = \overline{OC} =

외접원의 반지름

R

•

외심의 위치 (빈출!): 예각삼각형은 삼각형의 내부, 둔각삼각형은 삼각형의 외부, 그리고 직각삼각형의 외심은 항상 '빗변의 중점'에 위치합니다! (따라서 직각삼각형에서 빗변의 길이는 외접원의 지름 $2R$ 과 같습니다!)

2) 삼각형의 내심 (

I

) — 내접원의 중심:

•

작도 정의: 삼각형의 세 내각의 이등분선의 교점입니다.

•

핵심 성질: 내심에서 세 변에 이르는(수선의) 거리가 모두 같습니다 (내접원의 반지름

r

•

내심의 위치: 삼각형의 모양에 상관없이 언제나 삼각형의 내부에 위치합니다.

핵심 원리

🎯 직각삼각형의 외심은 도형 문제 0순위 치트키입니다! 직각삼각형이 나오면 무조건 '빗변의 중점 = 외심(O)'을 떠올리세요. 빗변의 중점에서 세 꼭짓점까지의 거리가 모두 같으므로 직각 꼭짓점과 이은 중선의 길이도 빗변의 절반(R)이 됩니다!

핵심 공식 유도 및 성질: 외심·내심의 각도 공식, 내접원 넓이 공식, 무게중심(G)

1) 외심(

O

)과 내심(

I

)에서의 중심각(

\angle BOC, \angle BIC

) 공식:

꼭짓점 $A$ 의 각을 $\angle A$ 라 할 때:

•

외심 각도 공식:

\triangle OAB, \triangle OBC, \triangle OCA

가 꼭지각이 다른 이등변삼각형임을 이용하면 중심각은 꼭지각의 $2$ 배입니다:

\angle BOC = 2 \angle A

•

내심 각도 공식: 세 내각을 반씩 쪼갠 각의 합이

90^\circ

임을 이용하면 $90^\circ$ 에 꼭지각의 절반을 더한 값이 됩니다:

\angle BIC = 90^\circ + \frac{1}{2} \angle A

2) 내접원의 반지름(

r

)과 삼각형의 넓이(

S

)·둘레 공식 (별표 5개):

내심 $I$ 와 세 꼭짓점을 연결하면 삼각형이 높이가 모두 내접원의 반지름 $r$ 인 세 개의 삼각형으로 쪼개지므로, 세 변의 길이가 $a, b, c$ 일 때:

S = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr = \frac{1}{2}r(a + b + c)

3) 삼각형의 무게중심 (Centroid,

G

세 꼭짓점과 마주 보는 대변의 중점을 이은 세 중선(Median)의 교점입니다.

•

무게중심은 세 중선의 길이를 꼭짓점으로부터 각각 $2 : 1$ 로 내분합니다.

•

세 중선에 의해 쪼개진 $6$ 개의 작은 삼각형의 넓이는 모두 전체 넓이의 $\frac{1}{6}$ 로 똑같습니다!

풀이

1) [외접원의 반지름 R]: 6² + 8² = 10² 이므로 빗변의 길이가 10cm인 직각삼각형입니다. 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 R = 10 ÷ 2 = 5cm 입니다.

2) [내접원의 반지름 r]: 직각삼각형의 넓이 S = (1/2) × 6 × 8 = 24cm² 입니다.

내접원 넓이 공식 S = (1/2)r(a + b + c) 에 대입하면 24 = (1/2)r(6 + 8 + 10) = 12r → r = 2cm 입니다.

3) [무게중심까지의 거리 CG]: 직각 꼭짓점 C에서 빗변의 중점(외심 O)까지 그은 중선의 길이는 외접원의 반지름과 같은 5cm입니다. 무게중심 G는 이 중선을 꼭짓점 C로부터 2:1로 내분하므로 CG = 5 × (2/3) = 10/3 cm 입니다.

심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 외심·내심 합동 조각 구분과 접선의 길이

1) 실전 오답 1위 함정 — 외심과 내심에서 합동인 직각삼각형 조각의 위치 혼동!

삼각형 내부의 점에서 세 변에 수선을 내리고 세 꼭짓점을 이으면 $6$ 개의 작은 직각삼각형이 생깁니다. 어디끼리 합동인지 그림으로 물어볼 때 절대 헷갈리지 마세요:

•

외심( $O$ ): 세 변의 수직이등분선이므로 한 변을 사이에 두고 나란히 붙어 있는 두 직각삼각형끼리 합동입니다!

•

내심( $I$ ): 세 내각의 이등분선이므로 한 꼭짓점을 끼고 마주 붙어 있는 두 직각삼각형끼리 합동입니다! (따라서 한 꼭짓점에서 내접원에 그은 두 접선의 길이가 서로 같습니다.)

2) 직각삼각형에서 내접원의 반지름

r

초고속 둘레 차 공식:

밑변 $a$ , 높이 $b$ , 빗변 $c$ 인 직각삼각형에서 내접원과 직각 꼭짓점이 이루는 사각형은 한 변이 $r$ 인 정사각형이 됩니다! 따라서 접선의 길이 성질에 의해 $c = (a - r) + (b - r)$ 이 성립하여 넓이 공식 없이도 1초 만에 $r$ 을 구할 수 있습니다:

r = \frac{a + b - c}{2} \quad \left(\text{예: } 6, 8, 10 \text{ 직각삼각형에서 } r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = 2\right)

3) 오심의 일치:

•

이등변삼각형에서는 외심, 내심, 무게중심이 모두 꼭지각의 이등분선(밑변의 수직이등분선) 일직선 위에 놓입니다.

•

정삼각형에서는 외심, 내심, 무게중심(및 수심)이 모두 단 한 점으로 완전히 일치하며, 이때 외접원의 반지름

R

과 내접원의 반지름

r

의 비는 무게중심의

2:1

성질에 의해 항상 $R : r = 2 : 1$ 이 됩니다!

학습 도움말

✏️ 외심·내심 5초 암기법: '외변내각(외심은 변의 수직이등분선, 내심은 각의 이등분선)' 그리고 '외꼭내변(외심은 꼭짓점까지 거리가 같고, 내심은 변까지 거리가 같다)' 네 글자씩만 외우면 모든 성질이 자동으로 유도됩니다!

핵심 요약

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외심(O)은 세 변의 수직이등분선의 교점으로 세 꼭짓점까지의 거리가 같으며, 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이다.
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내심(I)은 세 내각의 이등분선의 교점으로 세 변까지의 거리가 같으며, 삼각형 넓이 S = (1/2)r(a + b + c) 가 성립한다.
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꼭지각 ∠A에 대하여 외심 중심각은 ∠BOC = 2∠A 이고, 내심 중심각은 ∠BIC = 90° + (1/2)∠A 이다.
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무게중심(G)은 세 중선의 교점으로 각 중선을 꼭짓점으로부터 2:1로 내분하며 세 중선은 넓이를 6등분한다.

삼각형의 성질과 오심 (내심·외심·무게중심)

개념 정의와 직관적 원리: 외심(O) vs 내심(I)의 결정적 비교

핵심 공식 유도 및 성질: 외심·내심의 각도 공식, 내접원 넓이 공식, 무게중심(G)

심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 외심·내심 합동 조각 구분과 접선의 길이

핵심 요약

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18. 삼각형의 성질과 오심 (내심·외심·무게중심) 단원 연습 문제

참고 근거와 확인 범위