수학>심화 2>31. 일반각 삼각함수와 덧셈정리
개념 정리

삼각함수의 그래프와 덧셈정리

단원 개요
호도법(Radian)과 단위원 위에서의 일반각 삼각함수 정의로부터 주기성과 대칭성, 삼각함수 사이의 항등식, 그리고 미적분학의 기초인 덧셈정리까지 완벽히 정복합니다.
선수 개념
필수 키워드:호도법(Radian Measure)으로 정의하는단위원삼각함수 사이의 기본 항등식최댓값최솟값사인·코사인의 주기탄젠트의 주기2단계 규칙1단계 (함수 종류 결정)
이 단원의 내용
1개념 정의와 직관적 원리: 호도법(Radian)과 단위원 위의 삼각함수2핵심 공식 유도 및 성질: 삼각함수 항등식, 그래프의 주기, 그리고 덧셈정리3심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 각 변환 공식(nπ/2 ± θ)과 대칭성 활용
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개념 정의와 직관적 원리: 호도법(Radian)과 단위원 위의 삼각함수

1) 호도법(Radian Measure):

각의 크기를 60∘60^\circ처럼 도(Degree) 단위로 재면 실수 xx와 단위가 달라 미적분을 할 수 없습니다. 이에 반지름의 길이가 rr인 원에서 호의 길이가 반지름 rr과 같아질 때의 중심각의 크기를 11라디안(radian)으로 정의하는 호도법을 도입합니다. 원둘레 전체가 2πr2\pi r이므로 중심각 360∘360^\circ는 2π2\pi 라디안에 대응합니다:

π (라디안)=180∘⟺1라디안=180∘π,1∘=π180라디안\pi \text{ (라디안)} = 180^\circ \quad \Longleftrightarrow \quad 1\text{라디안} = \frac{180^\circ}{\pi}, \quad 1^\circ = \frac{\pi}{180}\text{라디안}

호도법으로 중심각 θ\theta를 나타내면 부채꼴의 호의 길이 ll과 넓이 SS 공식이 극도로 간결해집니다:

l=rθ,S=12r2θ=12rll = r\theta, \qquad S = \frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2}rl
2) 단위원(Unit Circle)을 통한 일반각 삼각함수의 정의:

중학교 삼각비는 0∘<θ<90∘0^\circ < \theta < 90^\circ에서만 정의되었지만, 좌표평면의 원점 중심 반지름 11인 단위원 위의 점 P(x,y)P(x, y)와 동경 OPOP가 이루는 일반각 θ\theta를 이용하면 모든 실수 θ\theta에 대해 삼각함수를 정의할 수 있습니다:

cos⁡θ=x (단위원 위의 x좌표),sin⁡θ=y (단위원 위의 y좌표),tan⁡θ=yx (동경의 기울기)\cos \theta = x \text{ (단위원 위의 } x\text{좌표)}, \quad \sin \theta = y \text{ (단위원 위의 } y\text{좌표)}, \quad \tan \theta = \frac{y}{x} \text{ (동경의 기울기)}
핵심 원리
🎯 사분면별 삼각함수 부호 법칙 '얼싸탄코(All - sin - tan - cos)': 제1사분면은 모두(All) 양수(+), 제2사분면은 sin(y좌표)만 양수, 제3사분면은 tan(기울기)만 양수, 제4사분면은 cos(x좌표)만 양수입니다!
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핵심 공식 유도 및 성질: 삼각함수 항등식, 그래프의 주기, 그리고 덧셈정리

1) 삼각함수 사이의 기본 항등식:

단위원의 방정식 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1에 x=cos⁡θ,y=sin⁡θx = \cos\theta, y = \sin\theta를 대입하면 언제나 성립하는 절대 항등식이 도출됩니다:

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1,tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,1+tan⁡2θ=sec⁡2θ=1cos⁡2θ\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1, \qquad \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \qquad 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}
2) 삼각함수 그래프의 최댓값·최솟값과 주기(Period):

일반적인 삼각함수 y=asin⁡(bx+c)+dy = a \sin(bx + c) + d (또는 cos⁡\cos)에 대하여:

•
최댓값: ∣a∣+d|a| + d, \quad 최솟값: −∣a∣+d-|a| + d (aa의 부호와 상관없이 반드시 절댓값 ∣a∣|a|를 붙임!)
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사인·코사인의 주기: T=2π∣b∣T = \frac{2\pi}{|b|}, \quad 탄젠트의 주기: T=π∣b∣T = \frac{\pi}{|b|}
3) 삼각함수의 덧셈정리 (Addition Formulas):

두 각 α,β\alpha, \beta의 합과 차에 대한 삼각함수 공식(수능 미적분 필수 공식)입니다:

sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β(싸코 플마 코싸 — 부호 그대로)\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta \quad (\text{싸코 플마 코싸 — 부호 그대로})
cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β(코코 마플 싸싸 — 부호 반대!)\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta \quad (\text{코코 마플 싸싸 — 부호 반대!})
tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}
풀이

제3사분면에서 sin θ와 cos θ는 모두 음수입니다. 주어진 합의 크기 √10/3은 1과 √2 사이이므로 가능한 값입니다.

1) 양변을 제곱하면 (sin θ + cos θ)² = 10/9입니다.

2) sin²θ + cos²θ = 1을 사용하면 1 + 2 sin θ cos θ = 10/9입니다.

3) 따라서 sin θ cos θ = (10/9 - 1)/2 = 1/18입니다. 질문에서 요구하지 않은 sin θ - cos θ는 이 조건만으로 부호까지 하나로 정해지지 않습니다.

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심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 각 변환 공식(nπ/2 ± θ)과 대칭성 활용

1) 모든 각 변환을 하나로 끝내는 만능 공식 (π2×n±θ\frac{\pi}{2} \times n \pm \theta):

sin⁡(π−θ)\sin(\pi - \theta), cos⁡(3π2+θ)\cos(\frac{3\pi}{2} + \theta) 같은 수십 개의 공식을 따로 외우지 말고 다음 2단계 규칙으로 통일하세요:

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1단계 (함수 종류 결정): π2×n±θ\frac{\pi}{2} \times n \pm \theta에서 정수 nn이 짝수(π,2π\pi, 2\pi 등)이면 함수가 그대로 유지(sin⁡→sin⁡,cos⁡→cos⁡\sin \to \sin, \cos \to \cos)되고, nn이 홀수(π2,3π2\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} 등)이면 함수가 반대로 바뀝니다(sin⁡↔cos⁡,tan⁡↔cot⁡\sin \leftrightarrow \cos, \tan \leftrightarrow \cot).
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2단계 (앞의 부호 결정): θ\theta를 무조건 예각으로 간주했을 때, 원래 주어진 각(π2n±θ\frac{\pi}{2}n \pm \theta)이 위치한 사분면에서의 '원래 삼각함수'의 부호(얼싸탄코)를 앞에 붙여줍니다!
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예: cos⁡(3π2−θ)\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right)   ⟹  \implies π2×3\frac{\pi}{2} \times 3으로 홀수이므로 sin⁡θ\sin\theta로 바뀌고, 3π2−θ\frac{3\pi}{2} - \theta는 제3사분면 각인데 원래 함수인 cos⁡\cos은 제3사분면에서 음수(−-)이므로 −sin⁡θ-\sin\theta가 됩니다!
2) 실전 빈출 함정 — 삼각방정식의 모든 실근의 합 구하기:

0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi에서 방정식 sin⁡x=k\sin x = k (kk는 미지수 상수)를 만족하는 두 실근 α,β\alpha, \beta를 직접 구할 수 없을 때는 삼각함수 그래프의 대칭축을 이용합니다!

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y=sin⁡xy = \sin x는 직선 x=π2x = \frac{\pi}{2} (또는 x=3π2x = \frac{3\pi}{2})에 대하여 좌우 대칭이므로, 두 교점의 중점이 대칭축 위에 있습니다:
α+β2=π2  ⟹  α+β=π\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\pi}{2} \implies \alpha + \beta = \pi
학습 도움말
✏️ 삼각방정식 근의 합 치트키: 특수각이 아닌 상수 k에 대해 sin x = k 나 cos x = k 의 두 근 α, β의 합을 물으면 각을 구하려 하지 말고 그래프의 대칭축 x = m 을 찾아 'α + β = 2 × (대칭축)' 공식을 쓰세요!

핵심 요약

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    호도법에서 π 라디안 = 180° 이며, 단위원 위의 점 P(x, y)에서 x = cos θ, y = sin θ, y/x = tan θ 이다.
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    항등식 sin²θ + cos²θ = 1 을 이용하면 (sin θ ± cos θ)와 (sin θ cos θ) 중 하나만 알아도 나머지를 구할 수 있다.
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    y = a sin(bx + c) + d 의 최댓값은 |a| + d, 최솟값은 -|a| + d 이며, 주기는 2π/|b| (탄젠트는 π/|b|)이다.
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    덧셈정리 sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ 와 cos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ 의 부호 차이를 정확히 기억해야 한다.

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참고 근거와 확인 범위

설명·예제·문제 구성 및 오류 수정 책임: 프리런. 위 자료는 표시한 주제를 확인하거나 더 읽기 위한 근거이며, 외부 기관의 공식 수업이나 감수본을 뜻하지 않습니다.

참고 자료 연결 점검: 2026-11-02. 제작 방식·검수 범위와 수정 기록에서 확인 범위를 볼 수 있습니다. 오류는 상단의 의견 보내기 또는 contact@freelearn.io로 알려 주세요.