지수법칙과 로그의 성질

방정식 $x^n = a$의 근(실근과 허근 모두 포함하여 복소수 범위에서 항상 $n$개 존재!)을 $a$의 $n$제곱근이라 합니다. 이 중 실수인 것을 기호 $\sqrt[n]{a}$로 나타내며, 지수법칙이 유리수·실수 지수에서도 성립하도록 다음과 같이 정의합니다 ($a > 0$일 때):

$2^x = 8$이면 $x = 3$임을 쉽게 알지만, $2^x = 5$를 만족하는 실수 $x$는 유리수로 쓸 수 없습니다. 이 유일한 지수 $x$를 나타내기 위해 수학자 네이피어(Napier)가 고안한 기호가 바로 로그($\log$)입니다:

여기서 $a$를 밑(Base), $N$을 진수(Argument)라 합니다. 로그 $\log_a N$이 실수로서 정의되기 위해서는 다음 밑 조건과 진수 조건을 반드시 만족해야 합니다:

로그는 태생적으로 '지수(거듭제곱의 횟수)'이기 때문에, 지수법칙 $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$가 로그 세계로 넘어오면 진수의 곱셈이 로그끼리의 덧셈으로 바뀝니다 ($a > 0, a \neq 1, x > 0, y > 0$):

로그방정식 $\log_2 (x - 1) + \log_2 (x - 3) = 3$을 풀 때:

십진법 체계에 맞추어 밑을 $10$으로 하는 로그를 상용로그라 하고 밑 $10$을 생략하여 $\log N$으로 씁니다. 임의의 양수 $N$은 $\log N = n + \alpha$ ($n$은 정수, $0 \le \alpha < 1$)로 표현되며, 정수부분 $n$은 $N$의 자릿수를, 소수부분 $\alpha$는 $N$의 숫자 배열을 결정합니다.