32. 등차·등비수열과 시그마(Σ)의 핵심 개념 요약은 무엇인가요?

자연수 정의역 위에서 규칙적으로 나열된 수들의 함수인 수열! 등차·등비수열의 일반항과 합, 그리고 합의 기호 시그마(Σ)와 망원급수 소거법을 정복합니다. 핵심 정리: 등차수열의 일반항은 a_n = a₁ + (n-1)d (n에 대한 일차식)이고, 등비수열의 일반항은 a_n = a₁·r^(n-1) 이다. 시그마 필수 공식 Σk = n(n+1)/2 (10까지 합은 55)와 Σk² = n(n+1)(2n+1)/6 (10까지 합은 385)은 숫자까지 외워두면 빠르다. 수열의 합 S_n 이 주어질 때 a_n = S_n - S_{n-1} 은 n ≥ 2 에서만 성립하며, 첫째항은 반드시 a₁ = S₁ 로 확인해야 한다. 분모가 곱 꼴인 시그마는 부분분수 공식 1/(AB) = 1/(B-A) × (1/A - 1/B) 로 쪼개어 연쇄 소거한다.

개념 정리

글자

수열과 시그마(Σ) 계산

Q: [32. 등차·등비수열과 시그마(Σ) 대표 예제] 시그마 식 Σ_{k=1}^{10} (3k² - 5k + 2) 의 값을 구하고, 부분분수 급수 Σ_{k=1}^{9} 1 / (k(k+1)) 의 합을 구하시오.

1) [다항식 시그마 계산]: 3 × Σk² - 5 × Σk + Σ2 (k=1부터 10까지) - Σ_{k=1}^{10} k = (10 × 11) / 2 = 55 - Σ_{k=1}^{10} k² = (10 × 11 × 21) / 6 = 385 - Σ_{k=1}^{10} 2 = 2 × 10 = 20 (상수 2를 10번 더함!) 따라서 3(385) - 5(55) + 20 = 1155 - 275 + 20 = 900 입니다. 2) [부분분수 소거 계산]: 1 / (k(k+1)) = 1/k - 1/(k+1) 로 쪼갭니다. k=1부터 9까지 대입하여 더하면 (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + ... + (1/9 - 1/10) 이 되어 가운데 항들이 모두 지워지고 1 - 1/10 = 9/10 이 됩니다.

단원 개요

자연수 정의역 위에서 규칙적으로 나열된 수들의 함수인 수열! 등차·등비수열의 일반항과 합, 그리고 합의 기호 시그마(Σ)와 망원급수 소거법을 정복합니다.

선수 개념

필수 키워드:수열(Sequence)일반항 공식

(n - 1)

번

n

에 대한 일차식

n

의 계수가 곧 공차

d

등차중항

r

(공비, Common Ratio)지수함수등비중항상수항이

0

인

n

에 대한 이차식

이 단원의 내용

1개념 정의와 직관적 원리: 등차수열과 등비수열의 함수적 본질 2핵심 공식 유도 및 성질: 수열의 합(S_n)과 시그마(Σ) 자연수 거듭제곱 합 공식 3심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: S_n과 a_n의 관계(n=1 함정)와 망원급수

개념 정의와 직관적 원리: 등차수열과 등비수열의 함수적 본질

차례대로 나열된 수의 열 $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots$ 을 수열(Sequence)이라 하며, 이는 사실 정의역이 자연수 전체의 집합 $\mathbb{N}$ 인 함수 $f(n) = a_n$ 입니다!

1) 등차수열 (Arithmetic Progression):

첫째항 $a_1$ 부터 차례로 일정한 수 $d$ (공차, Common Difference)를 더하여 만든 수열입니다:

•

일반항 공식:

n

번째 항

a_n

은 첫째항

a_1

에 공차

d

를 $(n - 1)$ 번 더한 것이므로:

a_n = a_1 + (n - 1)d = dn + (a_1 - d)

즉, 등차수열의 일반항은 $n$ 에 대한 일차식이며 $n$ 의 계수가 곧 공차 $d$ 입니다!

•

등차중항: 세 수

a, b, c

가 등차수열을 이루면 가운데 항은 양 끝 항의 산술평균입니다 (

b = \frac{a + c}{2} \iff 2b = a + c

2) 등비수열 (Geometric Progression):

첫째항 $a_1$ 부터 차례로 $0$ 이 아닌 일정한 수 $r$ (공비, Common Ratio)을 곱하여 만든 수열입니다:

•

일반항 공식:

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

(지수함수 형태이며 밑이 곧 공비

r

입니다.)

•

등비중항: 세 수

a, b, c

가 등비수열을 이루면

b^2 = ac

가 성립합니다.

핵심 원리

🎯 등차수열 빠른 계산 치트키: 꼭 첫째항 a₁부터 출발할 필요가 없습니다! 임의의 k번째 항 a_k에서 n번째 항 a_n으로 갈 때는 공차 d를 (n - k)번 더해주면 됩니다: a_n = a_k + (n - k)d (즉, d = (a_n - a_k)/(n - k))

핵심 공식 유도 및 성질: 수열의 합(S_n)과 시그마(Σ) 자연수 거듭제곱 합 공식

1) 등차수열과 등비수열의 첫째항부터 제

n

항까지의 합

S_n

•

등차수열의 합 (가우스의 거꾸로 더하기 원리):

S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n\{2a_1 + (n - 1)d\}}{2} = \frac{d}{2}n^2 + \left(a_1 - \frac{d}{2}\right)n

즉, 등차수열의 합 $S_n$ 은 상수항이 $0$ 인 $n$ 에 대한 이차식( $An^2 + Bn$ )입니다!

•

등비수열의 합 ( $r \neq 1$ 일 때):

S_n - rS_n

을 빼서 유도하면:

S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1} = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r} \quad (\text{단, } r = 1\text{일 때는 } S_n = n a_1)

2) 합의 기호 시그마(

\sum

)의 성질과 자연수 거듭제곱의 합 3대 공식:

$\sum_{k=1}^{n} (c a_k \pm b_k) = c \sum_{k=1}^{n} a_k \pm \sum_{k=1}^{n} b_k$ (합·차·상수배 분배 가능, 단 곱셈·나눗셈은 분배 불가!):

\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}, \qquad \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \qquad \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left\{ \frac{n(n+1)}{2} \right\}^2

풀이

1) [다항식 시그마 계산]:

3 × Σk² - 5 × Σk + Σ2 (k=1부터 10까지)

•

Σ_{k=1}^{10} k = (10 × 11) / 2 = 55

•

Σ_{k=1}^{10} k² = (10 × 11 × 21) / 6 = 385

•

Σ_{k=1}^{10} 2 = 2 × 10 = 20 (상수 2를 10번 더함!)

따라서 3(385) - 5(55) + 20 = 1155 - 275 + 20 = 900 입니다.

2) [부분분수 소거 계산]:

1 / (k(k+1)) = 1/k - 1/(k+1) 로 쪼갭니다.

k=1부터 9까지 대입하여 더하면 (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + ... + (1/9 - 1/10) 이 되어 가운데 항들이 모두 지워지고 1 - 1/10 = 9/10 이 됩니다.

심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: S_n과 a_n의 관계(n=1 함정)와 망원급수

1) 수열의 합

S_n

과 일반항

a_n

사이의 관계와

n \ge 2

함정 (출제율 100%):

모든 수열에서 $S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1} + a_n$ 에서 $S_{n-1} = a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1}$ 을 빼면 일반항이 나옵니다:

a_n = S_n - S_{n-1} \quad (\text{단, } \mathbf{n \ge 2}), \qquad \mathbf{a_1 = S_1}

•

치명적 함정:

S_n - S_{n-1}

로 구한 식은

n = 2

부터만 성립하는 식입니다! 만약 등차수열의 합 꼴에서 상수항 $C$ 가 붙어 있는 $S_n = An^2 + Bn + C$ ( $C \neq 0$ )가 주어졌다면, 이 수열은 제2항( $n=2$ )부터만 등차수열을 이루고 첫째항

a_1

은 규칙에서 어긋납니다! 따라서

a_1

을 구할 때는

S_n - S_{n-1}

식에

n=1

을 넣으면 절대 안 되고 반드시 원래 합 식에 대입한 $a_1 = S_1$ 로 구해야 합니다.

2) 망원급수(Telescoping Series) — 부분분수와 무리식의 유리화 소거법:

일반항이 $f(k) - f(k+1)$ 꼴로 쪼개지면 연쇄적으로 지워져 첫 항과 끝 항만 남습니다. 가장 대표적으로 부분분수 항등식을 반드시 암기해야 합니다:

\frac{1}{AB} = \frac{1}{B - A} \left( \frac{1}{A} - \frac{1}{B} \right)

주의할 점

⚠️ 시그마 상수항 함정 & S_n 함정: ① Σ_{k=1}^n c 는 c가 아니라 c×n 입니다! ② S_n = n² + 2n + 3 처럼 상수항(3)이 살아있는 경우, a₁을 구할 때 S_n - S_{n-1} 식에 n=1을 넣으면 오답입니다. 반드시 a₁ = S₁ = 1 + 2 + 3 = 6 으로 따로 구하세요!

핵심 요약

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등차수열의 일반항은 a_n = a₁ + (n-1)d (n에 대한 일차식)이고, 등비수열의 일반항은 a_n = a₁·r^(n-1) 이다.
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시그마 필수 공식 Σk = n(n+1)/2 (10까지 합은 55)와 Σk² = n(n+1)(2n+1)/6 (10까지 합은 385)은 숫자까지 외워두면 빠르다.
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수열의 합 S_n 이 주어질 때 a_n = S_n - S_{n-1} 은 n ≥ 2 에서만 성립하며, 첫째항은 반드시 a₁ = S₁ 로 확인해야 한다.
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분모가 곱 꼴인 시그마는 부분분수 공식 1/(AB) = 1/(B-A) × (1/A - 1/B) 로 쪼개어 연쇄 소거한다.

수열과 시그마(Σ) 계산

개념 정의와 직관적 원리: 등차수열과 등비수열의 함수적 본질

핵심 공식 유도 및 성질: 수열의 합(S_n)과 시그마(Σ) 자연수 거듭제곱 합 공식

심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: S_n과 a_n의 관계(n=1 함정)와 망원급수

핵심 요약

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32. 등차·등비수열과 시그마(Σ) 단원 연습 문제

참고 근거와 확인 범위