17. 연립일차방정식 (가감법과 대입법)의 핵심 개념 요약은 무엇인가요?

미지수가 2개인 두 일차방정식을 한 쌍으로 묶어 가감법·대입법으로 문자를 소거하고, 해가 무수히 많거나(부정) 해가 없는(불능) 특수한 연립방정식과 실생활 활용까지 완벽히 정복합니다. 핵심 정리: 연립일차방정식은 가감법이나 대입법을 이용해 두 미지수 중 하나를 소거하여 일차방정식으로 바꾸어 푼다. A = B = C (C는 상수) 꼴의 방정식은 {A = C, B = C} 로 묶어 푸는 것이 가장 빠르고 정확하다. 두 방정식의 계수 비에서 a/a' = b/b' = c/c' 이면 해가 무수히 많고(일치), a/a' = b/b' ≠ c/c' 이면 해가 없다(평행). 소금물 활용 문제는 '소금물의 양의 합' 식과 '소금의 양 = (농도/100) × (소금물의 양)' 식 두 개를 연립하여 해결한다.

개념 정리

글자

연립일차방정식 (가감법과 대입법)

단원 개요

미지수가 2개인 두 일차방정식을 한 쌍으로 묶어 가감법·대입법으로 문자를 소거하고, 해가 무수히 많거나(부정) 해가 없는(불능) 특수한 연립방정식과 실생활 활용까지 완벽히 정복합니다.

선수 개념

필수 키워드:미지수가 2개인 일차방정식해가 무수히 많고직선단 한 쌍의 공통인 해

(x, y)

가감법이 유리한 경우최소공배수대입법이 유리한 경우괄호를 쳐서 대입

A = B = C

꼴의 연립방정식 해법가장 간단한 두 식

이 단원의 내용

1개념 정의와 직관적 원리: 미지수가 2개인 일차방정식과 연립의 의미 2핵심 공식 유도 및 성질: 가감법·대입법과 A = B = C 꼴 방정식 3심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 특수한 해(부정·불능)와 소금물 농도·일 문제

개념 정의와 직관적 원리: 미지수가 2개인 일차방정식과 연립의 의미

미지수가 $x, y$ 두 개이고 그 차수가 모두 $1$ 차인 방정식

ax + by + c = 0 \quad (a, b, c\text{는 상수}, \; a \neq 0, \; b \neq 0)

을 미지수가 2개인 일차방정식이라고 합니다. 예를 들어 $x + y = 5$ 를 참이 되게 하는 순서쌍 $(x, y)$ 는 자연수 범위에서는 $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ 의 $4$ 쌍뿐이지만, 수의 범위를 실수 전체로 넓히면 $(0.5, 4.5), (-1, 6)$ 등 해가 무수히 많고 좌표평면 위에서 하나의 직선을 이룹니다.

따라서 두 개의 조건을 동시에 만족하는 단 한 쌍의 공통인 해 $(x, y)$ 를 확정하기 위해 미지수가 2개인 두 일차방정식을 한 쌍으로 묶어 놓은 것을 연립일차방정식(System of Linear Equations)이라고 합니다:

\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}

연립방정식을 푸는 대원칙은 "미지수 2개짜리 식 두 개를 엮어 미지수 1개를 없애고(소거, Elimination), 우리가 이미 잘 아는 미지수 1개짜리 일차방정식으로 차원을 낮추는 것"입니다.

핵심 원리

🎯 가감법 부호 결정 공식 '같빼다더': 소거하려는 미지수의 계수의 절댓값을 맞춘 뒤, 두 계수의 '부호가 같으면 빼고(같빼)', '부호가 다르면 더한다(다더)'를 기억하면 부호 실수를 완벽히 막을 수 있습니다!

핵심 공식 유도 및 성질: 가감법·대입법과 A = B = C 꼴 방정식

1) 가감법(Elimination by Addition/Subtraction) vs 대입법(Substitution):

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가감법이 유리한 경우: 두 식 모두

ax + by = c

표준형으로 정리되어 있을 때, 없애려는 문자의 계수의 최소공배수가 되도록 각 식의 양변에 적당한 수를 곱한 뒤 변끼리 더하거나 뺍니다.

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대입법이 유리한 경우: 두 식 중 하나가 이미

y = 2x - 1

또는

x = 3y + 4

처럼 한 문자에 관하여 정리되어 있을 때, 다른 식의 그 문자 자리에 괄호를 쳐서 대입합니다.

A = B = C

꼴의 연립방정식 해법:

등호가 연달아 두 개 있는 $A = B = C$ 꼴은 다음 세 가지 묶음 중 가장 간단한 두 식을 골라 연립방정식을 세웁니다:

\begin{cases} A = B \\ A = C \end{cases} \quad \text{또는} \quad \begin{cases} A = B \\ B = C \end{cases} \quad \text{또는} \quad \begin{cases} A = C \\ B = C \end{cases}

•

특급 꿀팁: 만약

C

가 미지수가 없는 상수(숫자)(예:

2x + y = 3x - 2y = 7

)라면, 무조건 상수

C

를 두 번 모두 사용하는 $\begin{cases} A = C \\ B = C \end{cases}$ (

\begin{cases} 2x + y = 7 \\ 3x - 2y = 7 \end{cases}

)로 묶는 것이 계산이 압도적으로 빠릅니다!

풀이

1) A = B = C 꼴에서 맨 끝의 C = 3 이 상수이므로, { A = 3, B = 3 } 형태로 묶는 것이 가장 빠릅니다!

2) 첫째 식: (x + y)/2 = 3 의 양변에 2를 곱하면 x + y = 6 --- (ㄱ)

3) 둘째 식: (2x - y)/3 = 3 의 양변에 3을 곱하면 2x - y = 9 --- (ㄴ)

4) (ㄱ)과 (ㄴ)에서 y의 계수가 +1과 -1로 부호가 다르므로 두 식을 변끼리 더합니다(다더):

(x + 2x) + (y - y) = 6 + 9 → 3x = 15 → x = 5

5) x = 5를 (ㄱ)에 대입하면 5 + y = 6 → y = 1. 따라서 해는 x = 5, y = 1 입니다.

심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 특수한 해(부정·불능)와 소금물 농도·일 문제

1) 해가 특수한 연립방정식 — 부정(무수히 많다)과 불능(해가 없다):

연립방정식 $\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}$ 을 가감법으로 소거했을 때 $x$ 와 $y$ 가 동시에 다 사라지는 경우가 있습니다. 계수들의 비율로 즉시 판별합니다:

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해가 오직 한 쌍 존재할 조건:

\frac{a}{a'} \neq \frac{b}{b'}

(두 직선이 한 점에서 교차)

•

해가 무수히 많을 조건 (부정, Indeterminate):

\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} \quad (\text{정리하면 } 0x + 0y = 0 \text{ 꼴 — 두 식이 완전히 일치!})

•

해가 하나도 없을 조건 (불능, Impossible):

\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \neq \frac{c}{c'} \quad (\text{정리하면 } 0x + 0y = k \neq 0 \text{ 꼴 — 두 직선이 평행!})

2) 실생활 문장제 활용 2대 필수 공식:

•

소금물의 농도 문제: 첫 번째 식은 '소금물의 총양 보존'으로 세우고, 두 번째 식은 절대 변하지 않는 '순수 소금의 양 보존'으로 세웁니다!

(\text{소금물의 농도 }\%) = \frac{\text{소금의 양}}{\text{소금물의 양}} \times 100 \quad \Longleftrightarrow \quad (\text{소금의 양}) = \frac{\text{농도}(\%)}{100} \times (\text{소금물의 양})

•

일(Work) 문제: 전체 일의 양을 숫자 ' $1$ '로 놓고,

A

가 혼자 하루에 하는 일의 양을

x

B

가 혼자 하루에 하는 일의 양을

y

로 설정하여 연립방정식을 세웁니다.

주의할 점

⚠️ 소금물 문제 함정 주의: 소금물에 '물'을 더 넣거나 증발시킬 때는 소금의 양이 0g 추가되지만, '소금'을 직접 더 넣을 때는 소금의 양뿐만 아니라 분모인 '소금물 전체의 양'도 넣은 소금만큼 함께 증가한다는 사실을 잊지 마세요!

핵심 요약

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연립일차방정식은 가감법이나 대입법을 이용해 두 미지수 중 하나를 소거하여 일차방정식으로 바꾸어 푼다.
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A = B = C (C는 상수) 꼴의 방정식은 {A = C, B = C} 로 묶어 푸는 것이 가장 빠르고 정확하다.
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두 방정식의 계수 비에서 a/a' = b/b' = c/c' 이면 해가 무수히 많고(일치), a/a' = b/b' ≠ c/c' 이면 해가 없다(평행).
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소금물 활용 문제는 '소금물의 양의 합' 식과 '소금의 양 = (농도/100) × (소금물의 양)' 식 두 개를 연립하여 해결한다.

연립일차방정식 (가감법과 대입법)

개념 정의와 직관적 원리: 미지수가 2개인 일차방정식과 연립의 의미

핵심 공식 유도 및 성질: 가감법·대입법과 A = B = C 꼴 방정식

심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 특수한 해(부정·불능)와 소금물 농도·일 문제

핵심 요약

설명 다음에는 직접 풀어 보세요

17. 연립일차방정식 (가감법과 대입법) 단원 연습 문제

참고 근거와 확인 범위