함께 배우는 수업 · 수학

곱의 미분법과 몫·합성함수의 미분법

복잡하게 얽힌 초월함수와 유리·무리함수를 단숨에 미분하는 3대 핵심 엔진! 곱의 미분법, 몫의 미분법, 연쇄법칙(Chain Rule), 그리고 음함수·역함수 미분법까지 완벽히 정복합니다.

이 수업에서 해 볼 일

  • 곱·합성함수의 미분에서 빠진 항을 찾아 수정한다

먼저 알면 좋은 것: 미분계수와 다항함수의 도함수 · 삼각·지수·로그함수의 기본 도함수 · 합성함수와 역함수의 개념

오늘의 목표

가입 없이 시작할 수 있어요. 설명을 읽고, 함께 연습한 뒤, 처음 보는 문제에서 직접 확인합니다.

판단 과정과 비교 사례

곱의 미분은 f′g+fg′로 두 항을 더한다. 두 함수의 도함수만 곱하거나 한 항만 미분하면 다른 부분의 변화가 누락된다.합성함수는 바깥을 미분하고 안쪽의 도함수를 곱한다. (ax+b)의 거듭제곱에서는 마지막에 곱할 a를 표시하면 누락을 줄일 수 있다.몫의 미분은 분모의 제곱과 분자 f′g-fg′의 순서에 주의한다. 전개한 식을 다시 간단히 해 부호와 상수항을 검산한다.

1. 개념 정의와 직관적 원리: 곱의 미분법과 몫의 미분법(Quotient Rule)

미분가능한 두 함수 f(x),g(x)f(x), g(x)가 곱해져 있거나 나누어져 있을 때, 단순히 각각의 도함수를 곱하거나 나누면(f′(x)g′(x)f'(x)g'(x) 또는 f′(x)g′(x)\frac{f'(x)}{g'(x)}) 절대 안 됩니다! 1) 곱의 미분법 (Product Rule): 가로가 f(x)f(x), 세로가 g(x)g(x)인 직사각형의 넓이 f(x)g(x)f(x)g(x)의 순간 증가량은 가로가 늘어나는 부분 f′(x)g(x)f'(x)g(x)와 세로가 늘어나는 부분 f(x)g′(x)f(x)g'(x)의 합으로 이루어집니다:
{f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)(세 개일 때: (fgh)′=f′gh+fg′h+fgh′)\big\{ f(x)g(x) \big\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \qquad (\text{세 개일 때: } (fgh)' = f'gh + fg'h + fgh')
2) 몫의 미분법 (Quotient Rule — 분수함수의 미분): 분수함수 y=f(x)g(x)y = \frac{f(x)}{g(x)} (g(x)≠0g(x) \neq 0)의 도함수는 분모를 제곱하고, 분자에는 '(분자 미분 ×\times 분모 그대로) −- (분자 그대로 ×\times 분모 미분)'을 적습니다:
{f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x){g(x)}2,특히 분자가 1일 때: {1g(x)}′=−g′(x){g(x)}2\left\{ \frac{f(x)}{g(x)} \right\}' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}, \qquad \text{특히 분자가 } 1\text{일 때: } \left\{ \frac{1}{g(x)} \right\}' = -\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}
이 몫의 미분법을 이용하면 정수 지수로의 확장 (x−n)′=−nx−n−1(x^{-n})' = -nx^{-n-1} 및 삼각함수의 도함수 (tan⁡x)′=(sin⁡xcos⁡x)′=cos⁡2x+sin⁡2xcos⁡2x=sec⁡2x(\tan x)' = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)' = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \sec^2 x가 즉시 증명됩니다!🎯 몫의 미분법 부호 주의: 곱의 미분법은 가운데가 더하기(+)이므로 순서를 바꿔도 되지만, 몫의 미분법은 가운데가 빼기(-)이므로 반드시 '분자(위) 미분 × 분모(아래)'를 먼저 적고 뒤에서 '분자 × 분모(아래) 미분'을 빼야 부호가 틀리지 않습니다!

2. 핵심 공식 유도 및 성질: 합성함수의 미분법(연쇄법칙, Chain Rule)과 초월함수 미분

미적분학 전체에서 가장 많이 쓰이는 만능 법칙은 합성함수의 미분법(연쇄법칙, Chain Rule)입니다. y=f(u)y = f(u)이고 속함수가 u=g(x)u = g(x)로 합성된 함수 y=f(g(x))y = f(g(x))를 xx에 대하여 미분할 때, 라이프니츠 미분 기호를 쓰면 마치 분수가 약분되듯 변화율의 배율이 곱해집니다:
dydx=dydu⋅dudx⟺{f(g(x))}′=f′(g(x))⋅g′(x)(겉미분×속미분!)\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \quad \Longleftrightarrow \quad \big\{ f(g(x)) \big\}' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \quad (\mathbf{\text{겉미분} \times \text{속미분!}})
연쇄법칙을 적용한 초월함수·무리함수의 필수 합성 미분 공식입니다: 1. 거듭제곱과 루트 미분:
{(g(x))n}′=n{g(x)}n−1g′(x),(g(x))′=g′(x)2g(x)(암기 시 계산 속도 3배!)\big\{ (g(x))^n \big\}' = n\{g(x)\}^{n-1} g'(x), \qquad \left( \sqrt{g(x)} \right)' = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}} \quad (\text{암기 시 계산 속도 3배!})
2. 지수함수 합성 미분:
(eg(x))′=eg(x)⋅g′(x),(ag(x))′=ag(x)ln⁡a⋅g′(x)\big( e^{g(x)} \big)' = e^{g(x)} \cdot g'(x), \qquad \big( a^{g(x)} \big)' = a^{g(x)} \ln a \cdot g'(x)
3. 로그함수 합성 미분 (진수분의 진수 미분!):
(ln⁡∣g(x)∣)′=g′(x)g(x),(log⁡a∣g(x)∣)′=g′(x)g(x)ln⁡a\big( \ln |g(x)| \big)' = \frac{g'(x)}{g(x)}, \qquad \big( \log_a |g(x)| \big)' = \frac{g'(x)}{g(x) \ln a}
4. 삼각함수 합성 미분: {sin⁡(g(x))}′=cos⁡(g(x))⋅g′(x)\{\sin(g(x))\}' = \cos(g(x)) \cdot g'(x), {cos⁡(g(x))}′=−sin⁡(g(x))⋅g′(x)\quad \{\cos(g(x))\}' = -\sin(g(x)) \cdot g'(x)

예제로 살펴보기

함수 f(x) = (2x + 1) / (x² + 1) 에 대하여 f'(1)의 값을 구하고, 합성함수 g(x) = ln(x² + 3x + 1) + e^(sin x) 에 대하여 g'(0)의 값을 구하시오.
  1. 1) [몫의 미분법으로 f'(1) 구하기]: f'(x) = [(2x + 1)'(x² + 1) - (2x + 1)(x² + 1)'] / (x² + 1)² = [2(x² + 1) - (2x + 1)(2x)] / (x² + 1)² x = 1을 대입하면 f'(1) = [2(2) - (3)(2)] / 2² = (4 - 6) / 4 = -2/4 = -1/2 입니다. 2) [연쇄법칙으로 g'(0) 구하기]: g'(x) = (x² + 3x + 1)' / (x² + 3x + 1) + e^(sin x) · (sin x)' = (2x + 3) / (x² + 3x + 1) + e^(sin x) cos x x = 0을 대입하면 g'(0) = 3/1 + e⁰ · cos 0 = 3 + 1×1 = 4 입니다.
확인: 곱의 미분법은 (fg)' = f'g + fg' 이고, 몫의 미분법은 (f/g)' = (f'g - fg') / g² 이다.

3. 심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 역함수의 미분법과 로그미분법

1) 역함수의 미분법 (Inverse Function Derivative — 수능 4점 단골 주제): 미분가능한 함수 y=f(x)y = f(x)의 역함수 f−1(x)f^{-1}(x)가 존재할 때, 역함수 정의 항등식 f(f−1(x))=xf(f^{-1}(x)) = x의 양변을 연쇄법칙으로 미분하면 f′(f−1(x))⋅(f−1)′(x)=1f'(f^{-1}(x)) \cdot (f^{-1})'(x) = 1이 되어 다음 공식이 유도됩니다:
(f−1)′(a)=1f′(b)(단, f−1(a)=b  ⟺  f(b)=a)(f^{-1})'(a) = \frac{1}{f'(b)} \qquad \big(\text{단, } f^{-1}(a) = b \iff \mathbf{f(b) = a}\big)
- 실전 오답 1위 함정: 문제에서 (f−1)′(a)(f^{-1})'(a)를 구하라고 할 때, 무심코 f′(x)f'(x)에 그대로 aa를 대입하여 1f′(a)\frac{1}{f'(a)}라고 쓰면 100% 오답입니다! - 역함수에서의 입력값 aa는 원래 함수 ff의 입장에서는 xx좌표가 아니라 yy좌표(함숫값)입니다! 따라서 반드시 먼저 방정식 f(b)=af(b) = a를 만족하는 xx좌표 bb를 찾은 뒤, 그 bb를 도함수 분모에 넣은 1f′(b)\frac{1}{f'(b)}로 구해야 합니다! 2) 매개변수 미분법과 로그미분법: - 매개변수 미분법: x=f(t),y=g(t)x = f(t), y = g(t)일 때 dydx=dy/dtdx/dt=g′(t)f′(t)\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{g'(t)}{f'(t)} - 로그미분법: 밑과 지수에 모두 변수 xx가 있는 함수(예: y=xsin⁡xy = x^{\sin x})나 복잡한 거듭제곱 분수식은 양변에 절댓값 자연로그 ln⁡∣y∣\ln |y|를 취해 지수를 앞으로 내린 뒤, 음함수 미분법으로 y′y\frac{y'}{y}를 구해 y′=y⋅(ln⁡∣y∣)′y' = y \cdot (\ln|y|)'로 미분합니다.🚨 역함수 미분법 3초 프로토콜: (f⁻¹)'(a) 가 나오면 절대 f'(a)를 구하지 마세요! 즉시 옆에 'f(b) = a' 라고 적은 뒤 눈대중(대입)으로 b값을 먼저 찾고, 정답을 '1 / f'(b)' 로 적는 습관을 들이면 절대 틀리지 않습니다!

참고 근거와 확인 범위

설명·예제·문제 구성 및 오류 수정 책임: 프리런. 위 자료는 표시한 주제를 확인하거나 더 읽기 위한 근거이며, 외부 기관의 공식 수업이나 감수본을 뜻하지 않습니다.

참고 자료 연결 점검: 2026-11-02. 제작 방식·검수 범위와 수정 기록에서 확인 범위를 볼 수 있습니다. 오류는 상단의 의견 보내기 또는 contact@freelearn.io로 알려 주세요.

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