함께 배우는 수업 · 수학

치환적분법과 부분적분법

적분 계산의 양대 산맥! 합성함수 미분(연쇄법칙)의 역연산인 치환적분법과 곱의 미분법의 역연산인 부분적분법(로다삼지 우선순위)을 완벽히 정복합니다.

이 수업에서 해 볼 일

치환과 부분적분에서 변환되는 항을 정확히 추적한다

먼저 알면 좋은 것: 다항·초월함수의 도함수와 부정적분 · 합성함수의 미분법(연쇄법칙)과 곱의 미분법 · 정적분의 계산

오늘의 목표

가입 없이 시작할 수 있어요. 설명을 읽고, 함께 연습한 뒤, 처음 보는 문제에서 직접 확인합니다.

판단 과정과 비교 사례

치환적분은 안쪽 함수를 u로 두고 du가 어떤 미분식인지 연결하는 방법이다. 변수 이름만 바꾸지 말고 dx와 계수도 함께 변환한다.부분적분은 ∫u dv=uv−∫v du로 곱의 미분을 거꾸로 쓴다. 로그를 미분하면 간단해지는지 등 선택의 목적을 보고 u와 dv를 정한다.삼각함수의 안쪽에 계수가 있으면 적분 결과에 역수 계수가 붙는다. 구한 원시함수를 미분해 원래 integrand의 계수가 복원되는지 확인한다.

1. 개념 정의와 직관적 원리: 치환적분법(u-Substitution)과 로그 적분 공식

미분에서는 연쇄법칙으로 어떤 합성함수든 미분할 수 있었지만, 적분에서는 곱이나 합성 형태를 바로 적분하는 만능 공식이 없습니다. 대신 미분 공식 두 개를 거꾸로 뒤집은 치환적분법과 부분적분법이 모든 복잡한 적분을 해결합니다. 1) 치환적분법 (Integration by Substitution — 연쇄법칙의 역연산): 피적분함수 안에 속함수 $g(x)$ 와 그 미분한 도함수 $g'(x)$ 가 곱해져 있는 형태일 때, 속함수를 $g(x) = t$ 로 치환하고 양변을 미분하여 $g'(x) \, dx = dt$ 로 바꾸어 적분합니다:

\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int f(t) \, dt \qquad \big(g(x) = t, \; g'(x)\,dx = dt\big)

2) 분수함수 치환적분의 제1특수형 — '분모를 미분한 것이 분자에 있을 때':

\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx

꼴은

f(x) = t

로 치환하면

\int \frac{1}{t} \, dt

가 되므로 치환할 필요도 없이 1초 만에 자연로그 $\ln$ 으로 바로 적분해야 합니다:

\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln |f(x)| + C \qquad \left(\text{예: } \int \tan x \, dx = \int \frac{-(-\sin x)}{\cos x} \, dx = -\ln |\cos x| + C\right)

🎯 치환적분 발동 신호: 식이 복잡할 때 '누구를 미분하면 옆에 곱해진 식이 나올까?'를 찾으세요! 속함수 g(x)의 도함수 g'(x)가 상수배 차이로 곱해져 있다면 100% 치환적분(g(x) = t) 문제입니다.

2. 핵심 공식 유도 및 성질: 부분적분법(Integration by Parts)과 '로다삼지' 법칙

서로 다른 종류의 두 함수(예: 다항함수

x

와 지수함수

e^x

, 또는 로그함수

\ln x

)가 곱해져 있어 치환적분이 불가능할 때는 곱의 미분법 $(uv)' = u'v + uv'$ 을 이항하여 적분한 부분적분법을 사용합니다:

\int u(x) v'(x) \, dx = u(x)v(x) - \int u'(x) v(x) \, dx

여기서 가장 중요한 핵심은 두 함수 중 누구를 미분할 함수 $u(x)$ 로 놓고, 누구를 적분할 함수 $v'(x)$ 로 놓을지 결정하는 것입니다! 미분할수록 차수가 낮아지거나 간단해지는 함수를

u(x)

로 택하는 절대 기준이 바로 '로·다·삼·지 (LIATE)' 법칙입니다:

\text{미분할 함수 } u(x) \text{ 선택 우선순위: } \mathbf{\text{로}(\ln x) \longrightarrow \text{다}(x^n) \longrightarrow \text{삼}(\sin x, \cos x) \longrightarrow \text{지}(e^x)} \text{ :적분할 함수 } v'(x)

- 로그함수( $\ln x$ ) 단독 적분 공식 (완전 암기 필수!):

\int \ln x \, dx = \int (\ln x) \cdot 1 \, dx

에서

u = \ln x, v' = 1

로 부분적분하면:

\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = \mathbf{x \ln x - x + C}

예제로 살펴보기

정적분 ① ∫_{0}^{1} 2x · e^(x²) dx 를 치환적분법으로 구하고, ② ∫_{1}^{e} x · ln x dx 를 부분적분법으로 구하시오.

1) [① 치환적분법]: 속함수 x² = t 로 치환하면 양변 미분 시 2x dx = dt 입니다. 적분 구간 변경: x = 0 일 때 t = 0, x = 1 일 때 t = 1 입니다. 따라서 ∫_{0}^{1} e^t dt = [e^t]_{0}^{1} = e¹ - e⁰ = e - 1 입니다. 2) [② 부분적분법]: '로다삼지' 순서에 따라 로그함수를 미분할 함수 u = ln x, 다항함수를 적분할 함수 v' = x 로 놓습니다. 그러면 u' = 1/x, v = (1/2)x² 이므로: ∫_{1}^{e} x ln x dx = [(1/2)x² ln x]_{1}^{e} - ∫_{1}^{e} (1/2)x² · (1/x) dx = ((1/2)e² · 1 - 0) - ∫_{1}^{e} (1/2)x dx = (1/2)e² - [(1/4)x²]_{1}^{e} = (1/2)e² - (1/4)(e² - 1) = (1/4)e² + 1/4 = (e² + 1) / 4 입니다.

확인: 속함수 g(x)의 도함수 g'(x)가 곱해진 적분은 g(x) = t 로 치환하여 ∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(t)dt 로 푼다.

3. 심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 정적분 치환 시 적분구간 변경과 도표적분법(부분적분)

1) 실전 오답 1위 함정 — 정적분의 치환적분에서 위끝·아래끝 구간 미변경 실수! 정적분

\int_a^b f(g(x))g'(x) \, dx

에서

g(x) = t

로 치환할 때, 식만

\int f(t) \, dt

로 바꾸고 적분 구간에 원래

x

의 범위인

a, b

를 그대로 적어 대입하면 100% 오답입니다! - 철칙:

g(x) = t

로 치환하는 즉시, 옆에 $x = a \implies t = g(a)$ , $x = b \implies t = g(b)$ 를 계산하여 정적분의 아래끝과 위끝을 $t$ 의 범위로 완전히 바꾸어야 합니다:

\int_a^b f(g(x))g'(x) \, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(t) \, dt

이렇게

t

의 구간으로 한번 바꾸고 나면 다시 원래 변수

x

로 되돌릴 필요 없이 바로

t

에

g(b)

와

g(a)

를 대입해 끝낼 수 있습니다! 2) 다항함수 $\times$ 지수(삼각)함수의 초고속 부분적분 — 도표적분법(Tabular Integration):

\int (x^2 + 2x)e^x \, dx

처럼 다항식의 차수가

2

차 이상이어서 부분적분을 여러 번 반복해야 할 때는, 왼쪽 열에는 다항식을

0

이 될 때까지 연속 미분하고 오른쪽 열에는 지수(삼각)함수를 연속 적분한 뒤, 대각선으로 $+, -, +, \dots$ 교대 부호를 붙여 곱해 더하면 5초 만에 암산으로 적분이 끝납니다:

\int P(x)e^x \, dx = \big( P(x) - P'(x) + P''(x) - \cdots \big)e^x + C

⚠️ 정적분 치환적분 필수 체크리스트: g(x) = t 로 치환할 때 ① 'g'(x)dx = dt' 변환과 ② '아래끝·위끝 적분 구간을 g(a), g(b)로 변경' 두 가지를 반드시 한 세트로 동시에 처리하세요!

참고 근거와 확인 범위

OpenStax · Calculus Volume 1 · 5.5 Substitution ↗
치환적분에서 변수와 구간 변환
OpenStax · Calculus Volume 2 · 3.1 Integration by Parts ↗
부분적분 공식과 적용

설명·예제·문제 구성 및 오류 수정 책임: 프리런. 위 자료는 표시한 주제를 확인하거나 더 읽기 위한 근거이며, 외부 기관의 공식 수업이나 감수본을 뜻하지 않습니다.

참고 자료 연결 점검: 2026-11-02. 제작 방식·검수 범위와 수정 기록에서 확인 범위를 볼 수 있습니다. 오류는 상단의 의견 보내기 또는 contact@freelearn.io로 알려 주세요.

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