함께 배우는 수업 · 수학

유리함수와 무리함수

분모에 미지수가 있는 분수함수의 점근선·대칭성·역함수 공식과, 근호 안에 미지수가 있는 무리함수의 시작점·방향 결정 및 직선과의 교점 판별법을 완벽히 마스터합니다.

이 수업에서 해 볼 일

  • 분모와 근호 조건으로 함수의 정의역을 정한다

먼저 알면 좋은 것: 함수의 정의역·치역과 역함수 · 도형의 평행이동과 대칭이동 · 이차방정식의 판별식 D

오늘의 목표

가입 없이 시작할 수 있어요. 설명을 읽고, 함께 연습한 뒤, 처음 보는 문제에서 직접 확인합니다.

판단 과정과 비교 사례

실수 범위의 제곱근 안은 0 이상이어야 하고 분모는 0이 아니어야 한다. 로그의 양수 조건과 제곱근의 0 허용 조건을 혼동하지 않는다.유리함수 1/(x-p)+q의 수직점근선은 분모가 0이 되는 x=p, 수평점근선은 y=q다. 점근선을 실제 함수값이 반드시 존재하는 직선으로 보지 않는다.제곱근 함수의 치역은 제곱근 값이 0 이상이라는 조건에서 시작한다. 바깥 상수와 계수 부호를 적용해 y의 범위를 구한다.

1. 개념 정의와 직관적 원리: 유리함수의 표준형 변환과 점근선의 교점

분모에 미지수 xx가 포함된 분수함수
y=kx−p+q(k≠0)y = \frac{k}{x - p} + q \quad (k \neq 0)
의 그래프는 기본형 y=kxy = \frac{k}{x}의 쌍곡선을 xx축 방향으로 pp만큼, yy축 방향으로 qq만큼 평행이동한 것입니다. 분모가 00이 될 수 없으므로 정의역은 {x∣x≠p인 실수}\{x \mid x \neq p\text{인 실수}\}, 치역은 {y∣y≠q인 실수}\{y \mid y \neq q\text{인 실수}\}입니다. 여기서 그래프가 한없이 가까워지지만 결코 닿지 않는 두 직선인 점근선(Asymptote)과 대칭성이 유리함수의 전부입니다: - 두 점근선의 방정식: x=px = p (분모가 00이 되는 값), y=qy = q (xx항의 계수 비) - k의 부호와 그래프의 방향: 점근선을 새로운 십자 축으로 보았을 때 k>0k > 0이면 제1·3사분면 방향, k<0k < 0이면 제2·4사분면 방향에 그려지며, ∣k∣|k|가 클수록 대칭 중심에서 멀어집니다. - 유리함수의 3대 대칭성 (출제율 100%): 1. 점대칭: 두 점근선의 교점인 점 (p,q)(p, q)에 대하여 점대칭이다! 2. 선대칭: 점 (p,q)(p, q)를 지나고 기울기가 +1+1인 직선 y=(x−p)+qy = (x - p) + q와 기울기가 −1-1인 직선 y=−(x−p)+qy = -(x - p) + q 두 직선에 대하여 선대칭이다!🎯 일반형 y = (ax + b)/(cx + d) 에서 1초 만에 점근선과 역함수 뽑아내기: ① 점근선: 분모 = 0 에서 x = -d/c, 일차항 계수비에서 y = a/c 입니다! ② 역함수 공식: a와 d의 자리와 부호만 동시에 맞바꾸면 즉시 역함수가 됩니다 → f⁻¹(x) = (-dx + b)/(cx - a) !

2. 핵심 공식 유도 및 성질: 무리함수의 시작점과 4방향 개형 결정법

근호(\sqrt{\quad}) 안에 미지수 xx가 포함된 무리함수(Irrational Function)는 반드시 xx의 계수 aa로 묶어낸 표준형으로 바꾸어 해석합니다:
y=±a(x−p)+q(a≠0)y = \pm \sqrt{a(x - p)} + q \quad (a \neq 0)
실수 범위에서 근호 안의 식은 항상 00 이상(a(x−p)≥0a(x - p) \ge 0)이어야 하므로, 그래프는 이차함수 포물선의 절반을 옆으로 눕혀 놓은 모양이 되며 '시작점(꼭짓점)'과 '뻗어나가는 방향' 두 가지만 찾으면 끝납니다: 1. 시작점의 좌표: 근호 안이 00이 되는 점인 (p,q)(p, q)입니다. 2. 그래프가 뻗어나가는 사분면 방향 (xx 앞의 부호, 루트 밖의 부호): - y=++(x−p)+qy = +\sqrt{+(x - p)} + q (++, ++): 오른쪽 위 (제1사분면 방향, 정의역 x≥px \ge p, 치역 y≥qy \ge q) - y=+−(x−p)+qy = +\sqrt{-(x - p)} + q (−-, ++): 왼쪽 위 (제2사분면 방향, 정의역 x≤px \le p, 치역 y≥qy \ge q) - y=−−(x−p)+qy = -\sqrt{-(x - p)} + q (−-, −-): 왼쪽 아래 (제3사분면 방향, 정의역 x≤px \le p, 치역 y≤qy \le q) - y=−+(x−p)+qy = -\sqrt{+(x - p)} + q (++, −-): 오른쪽 아래 (제4사분면 방향, 정의역 x≥px \ge p, 치역 y≤qy \le q)

예제로 살펴보기

유리함수 f(x) = (3x - 1) / (x - 2) 의 점근선의 교점 좌표와 역함수 f⁻¹(x)를 구하고, 무리함수 g(x) = -√(4 - 2x) + 3 의 정의역과 치역을 구하시오.
  1. 1) [유리함수 점근선과 역함수]: 분모 x - 2 = 0 에서 점근선 x = 2 이고, x의 계수비 3/1 에서 점근선 y = 3 입니다. 따라서 점근선의 교점은 (2, 3)입니다. 역함수 공식(분자 x계수 3과 분모 상수 -2의 자리·부호 교환)에 의해 f⁻¹(x) = (2x - 1) / (x - 3) 입니다. 2) [무리함수 정의역과 치역]: g(x) = -√(-2(x - 2)) + 3 이므로 시작점은 (2, 3)입니다. 근호 안 4 - 2x ≥ 0 이어야 하므로 정의역은 {x | x ≤ 2} 이고, 근호 앞에 마이너스(-)가 붙어 있으므로 치역은 {y | y ≤ 3} 입니다.
확인: 유리함수 y = (ax + b)/(cx + d) 의 점근선은 x = -d/c, y = a/c 이며, 그래프는 점근선의 교점과 기울기 ±1인 직선에 대칭이다.

3. 심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 무리함수와 직선의 교점 개수 (판별식 D 단독 사용 금지!)

고등학교 1학년 기말고사에서 오답률 1위를 기록하는 킬러 주제는 "무리함수 y=x−py = \sqrt{x - p}의 그래프와 직선 y=x+ky = x + k가 서로 다른 두 점에서 만날 kk의 값의 범위"를 구하는 문제입니다. 치명적 함정 (양변 제곱 후 판별식 D>0D > 0만 푸는 실수!): 두 식을 연립하여 x−p=x+k\sqrt{x - p} = x + k의 양변을 제곱해 x−p=(x+k)2x - p = (x + k)^2을 만든 순간, 원래 없던 아래쪽 반쪽 포물선(y=−x−py = -\sqrt{x - p})까지 유령처럼 살아나 완전한 포물선 전체와 직선의 교점을 구하는 식이 되어버립니다! 따라서 판별식 D>0D > 0만 풀면 가짜 교점까지 포함되어 무조건 틀립니다. 반드시 그래프를 그려서 해결하는 2대 경계선 공식: 기울기가 11인 직선 y=x+ky = x + k를 위아래로 평행이동하면서 실제 무리함수 곡선과 두 점에서 만나는 두 경계를 찾습니다: 1. 경계 ① (접할 때): 양변을 제곱한 이차방정식의 판별식 D=0D = 0이 되는 k=k1k = k_1을 구합니다 (이때는 11개 점에서 접함). 2. 경계 ② (시작점을 지날 때): 직선이 무리함수의 시작점 (p,q)(p, q)를 지날 때 대입하여 k=k2k = k_2를 구합니다 (이때는 정확히 서로 다른 22개 점에서 만남!). 3. 최종 범위: 시작점을 지날 때는 등호(≤\le 또는 ≥\ge)가 포함되고, 접할 때는 등호가 빠진 범위(예: k2≤k<k1k_2 \le k < k_1)가 정답이 됩니다!🚨 무리함수와 직선의 교점 문제 철칙: 절대 판별식 D > 0 으로 풀지 마세요! 반드시 그래프를 그려 '① 시작점을 지날 때(교점 2개, 등호 포함)'와 '② 판별식 D = 0 으로 접할 때(교점 1개, 등호 제외)' 두 경계값을 찾아 범위를 묶어야 합니다!

참고 근거와 확인 범위

설명·예제·문제 구성 및 오류 수정 책임: 프리런. 위 자료는 표시한 주제를 확인하거나 더 읽기 위한 근거이며, 외부 기관의 공식 수업이나 감수본을 뜻하지 않습니다.

참고 자료 연결 점검: 2026-11-02. 제작 방식·검수 범위와 수정 기록에서 확인 범위를 볼 수 있습니다. 오류는 상단의 의견 보내기 또는 contact@freelearn.io로 알려 주세요.

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