함께 배우는 수업 · 수학

원의 성질과 원주각의 정리

원의 현의 수직이등분선과 접선의 길이 성질부터, 한 호에 대한 원주각은 중심각의 절반(1/2)이라는 원주각의 정리, 원에 내접하는 사각형, 접선과 현이 이루는 각까지 완벽히 정복합니다.

이 수업에서 해 볼 일

같은 호에 대한 중심각과 원주각의 관계를 적용한다

먼저 알면 좋은 것: 이등변삼각형과 직각삼각형의 합동(RHS) · 삼각형의 외각의 성질 · 부채꼴의 중심각과 호의 길이

오늘의 목표

가입 없이 시작할 수 있어요. 설명을 읽고, 함께 연습한 뒤, 처음 보는 문제에서 직접 확인합니다.

판단 과정과 비교 사례

같은 호에 대한 원주각은 중심각의 절반이다. 각의 꼭짓점이 원 위에 있는지 중심에 있는지 표시하면 두 각을 구별할 수 있다.지름을 보는 원주각은 반원에 대응하므로 90°다. 원주각 둘이 같은 호를 볼 때 같다는 정리를 서로 다른 호에 무조건 적용하지 않는다.호 길이는 전체 둘레에 중심각/360°를 곱해 구한다. 중심각을 라디안으로 쓰면 s=rθ이므로 도 단위 수치를 그대로 곱하지 않는다.

1. 개념 정의와 직관적 원리: 현의 수직이등분선, 접선의 성질, 원주각의 정의

1) 원의 현(Chord)과 접선(Tangent)의 기본 성질: - 현의 수직이등분선: 원의 중심

O

에서 현

AB

에 내린 수선은 그 현을 수직이등분합니다(

\overline{AM} = \overline{BM}

). 또한 중심에서 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 서로 같습니다. - 원의 접선의 성질: 원의 접선은 접점을 지나는 반지름에 항상 수직( $90^\circ$ )입니다. 원 밖의 한 점

P

에서 원에 그은 두 접선의 길이(접점까지의 거리)는 서로 같습니다(

\overline{PA} = \overline{PB}

). 2) 원주각(Inscribed Angle)과 중심각(Central Angle)의 관계: 원 위의 한 호

\overset{\frown}{AB}

에 대하여 원의 중심

O

와 이은 각

\angle AOB

를 중심각이라 하고, 호

\overset{\frown}{AB}

를 제외한 원주 위의 임의의 점

P

와 이은 각

\angle APB

를 원주각이라고 합니다. 점

P

와 중심

O

를 지나는 보조선을 그어 두 이등변삼각형의 외각 성질을 적용하면 다음 원주각의 정리가 증명됩니다:

(\text{원주각 } \angle APB) = \frac{1}{2} (\text{중심각 } \angle AOB) \quad \Longleftrightarrow \quad (\text{중심각}) = 2 \times (\text{원주각})

따라서 한 호 $\overset{\frown}{AB}$ 에 대한 원주각의 크기는 점 $P$ 가 원주 위 어디로 움직이든 항상 일정하며, 호의 길이는 원주각의 크기에 정비례합니다!🎯 탈레스의 정리 (반원에 대한 원주각 = 90°): 원의 '지름(AB)'이 문제에 등장하면 지름에 대한 중심각이 평각(180°)이므로, 지름을 한 변으로 하고 원주 위의 점을 잇는 모든 삼각형의 원주각은 무조건 '90°(직각)'입니다! 직각 표시가 없어도 스스로 90°를 표시하는 것이 풀이의 시작입니다.

2. 핵심 공식 유도 및 성질: 원에 내접하는 사각형과 접선과 현이 이루는 각(접현각)

1) 원에 내접하는 사각형의 대각 성질: 네 꼭짓점이 한 원 위에 있는 사각형

ABCD

에서, 마주 보는 두 내각(

\angle A

와

\angle C

)의 중심각의 합은 원 한 바퀴인

360^\circ

입니다. 따라서 원주각의 합인 한 쌍의 대각의 크기의 합은 항상 $180^\circ$ 입니다:

\angle A + \angle C = 180^\circ, \qquad \angle B + \angle D = 180^\circ

또한 사각형의 한 외각은 이웃한 내각과 합쳐

180^\circ

이므로, 원에 내접하는 사각형의 한 외각의 크기는 그 이웃한 내각의 맞은편 대각(내대각)의 크기와 정확히 같습니다! 2) 접선과 현이 이루는 각 (접현각의 정리): 원의 접선

AT

와 접점

A

를 지나는 현

AB

가 이루는 각

\angle BAT

의 크기는, 그 각의 내부에 있는 호 $\overset{\frown}{AB}$ 에 대한 원주각 $\angle BCA$ 의 크기와 같습니다:

\angle BAT = \angle BCA \quad (\text{접선과 현이 이루는 각} = \text{그 호에 대한 원주각})

예제로 살펴보기

원 O에 사각형 ABCD가 내접하고 선분 AB가 원 O의 지름일 때, ∠ACD = 35° 이면 ∠BAD의 크기는 몇 도인지 구하시오.

1) 선분 AB가 원 O의 지름이므로, 반원에 대한 원주각의 성질에 의해 ∠ACB = 90° 입니다. 2) 따라서 사각형 ABCD의 한 내각인 ∠BCD = ∠ACB + ∠ACD = 90° + 35° = 125° 입니다. 3) 원에 내접하는 사각형에서 마주 보는 두 대각의 크기의 합은 항상 180° 이므로: ∠BAD + ∠BCD = 180° → ∠BAD = 180° - 125° = 55° 입니다. (별해: 같은 호 AD에 대한 원주각이므로 ∠ABD = ∠ACD = 35° 이고, 직각삼각형 ABD에서 ∠ADB = 90° 이므로 ∠BAD = 90° - 35° = 55° 로 구할 수도 있습니다.)

확인: 한 호에 대한 원주각의 크기는 중심각의 크기의 1/2 이며, 반원(지름)에 대한 원주각은 항상 90°(직각)이다.

3. 심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 네 점이 한 원 위에 있을 조건과 호의 비율

1) 네 점 $A, B, C, D$ 가 한 원 위에 있을 조건 (공원점 판별 3대 조건): 다음 세 조건 중 하나라도 성립하면 네 점은 한 원 위에 있습니다: 1. 선분

AB

에 대하여 같은 쪽에 있는 두 점

C, D

가 $\angle ACB = \angle ADB$ 를 만족할 때 (원주각이 같음). 2. 사각형

ABCD

에서 마주 보는 두 대각의 합이 $180^\circ$ 일 때 (

\angle A + \angle C = 180^\circ

). 3. 사각형

ABCD

의 한 외각이 그 내대각과 같을 때. 2) 실전 빈출 함정 — '호의 길이'는 원주각에 정비례하지만, '현의 길이'는 정비례하지 않는다!: 진위 판정 문제에서 가장 많이 틀리는 오개념입니다: - 호의 길이( $\overset{\frown}{AB}$ ): 중심각 및 원주각의 크기에 정비례합니다! (원주각이

2

배가 되면 호의 길이도 정확히

2

배가 되며, 원 전체의 원주각의 총합은 중심각 총합

360^\circ

의 절반인 $180^\circ$ 입니다!) - 현의 길이( $\overline{AB}$ ): 원주각의 크기에 정비례하지 않습니다! (원주각이

2

배가 되면 현의 길이는 삼각형 결정조건에 의해

2

배보다 작습니다:

\overline{AC} < 2\overline{AB}

.) 3) 원 밖의 한 점 $P$ 에서 그은 두 접선 $PA, PB$ 와 중심각: 사각형

APBO

에서

\angle PAO = \angle PBO = 90^\circ

이므로, 항상 $\angle APB + \angle AOB = 180^\circ$ 가 성립합니다!⚠️ 원주각 총합 꿀팁 & 현의 길이 함정: ① 원 한 바퀴 전체에 대한 중심각의 합은 360°이지만, 원 한 바퀴 전체에 대한 '원주각의 총합은 항상 180°'입니다! 따라서 호의 길이가 원주의 1/6 이면 원주각은 180° × (1/6) = 30° 로 즉시 구하세요. ② 원주각이 2배가 되어도 '현의 길이'는 절대 2배가 되지 않습니다!

참고 근거와 확인 범위

Clark University · Euclid III.20 ↗
같은 호에 대한 중심각과 원주각의 관계

설명·예제·문제 구성 및 오류 수정 책임: 프리런. 위 자료는 표시한 주제를 확인하거나 더 읽기 위한 근거이며, 외부 기관의 공식 수업이나 감수본을 뜻하지 않습니다.

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