함께 배우는 수업 · 수학

도형의 닮음과 평행선 선분비

도형을 일정한 비율로 확대·축소한 닮음(Similarity)의 3대 조건(SSS, SAS, AA)부터 평행선과 내각의 이등분선 선분비, 그리고 닮음비 k에 따른 넓이비(k²)와 부피비(k³)를 정복합니다.

이 수업에서 해 볼 일

  • 대응변의 닮음비와 넓이비를 구분한다

먼저 알면 좋은 것: 비와 비율, 비례식의 성질 · 삼각형의 합동 조건 · 평행선의 동위각과 엇각

오늘의 목표

가입 없이 시작할 수 있어요. 설명을 읽고, 함께 연습한 뒤, 처음 보는 문제에서 직접 확인합니다.

판단 과정과 비교 사례

닮음은 대응각이 같고 대응변 비가 일정한 관계다. 작은 쪽과 큰 쪽의 순서를 먼저 정해 모든 비례식에서 같은 대응을 유지한다.길이의 배율이 k이면 넓이는 k², 부피는 k³배다. 면을 채우는 두 방향과 공간을 채우는 세 방향에 같은 배율이 적용된다고 생각해 본다.평행선이 만드는 삼각형에서는 공통각과 동위각을 이용해 닮음을 확인한다. 그림이 비슷해 보인다는 이유만으로 대응변 비를 세우지 않는다.

1. 개념 정의와 직관적 원리: 닮음비와 삼각형의 3대 닮음 조건

한 도형을 일정한 비율로 확대하거나 축소하였을 때 다른 도형과 완전히 포개어지면 두 도형은 서로 닮음(Similar) 관계에 있다고 하며, 기호 ∼\sim으로 나타냅니다(예: △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF — 반드시 대응하는 꼭짓점 순서대로 적어야 합니다!). - 닮음의 성질: 서로 닮은 두 평면도형에서 대응하는 변의 길이의 비(닮음비, Similarity Ratio)는 일정하고, 대응하는 각의 크기는 서로 똑같습니다. (주의: 닮음비가 1:21 : 2라고 해서 각의 크기가 22배가 되는 것은 절대 아닙니다!) - 닮음비가 1:11 : 1인 도형은 크기까지 같은 합동(≡\equiv)인 도형입니다. 삼각형의 3대 닮음 조건: 1. SSS 닮음: 세 쌍의 대응변의 길이의 비가 모두 같을 때 (a:a′=b:b′=c:c′a:a' = b:b' = c:c') 2. SAS 닮음: 두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고, 그 끼인각의 크기가 같을 때 3. AA 닮음 (실전 출제율 80% 이상!): 두 쌍의 대응각의 크기가 각각 같을 때 (삼각형의 내각의 합은 180∘180^\circ이므로 두 각만 같으면 나머지 한 각도 자동으로 같아지기 때문에 변의 길이를 전혀 몰라도 닮음이 보장됩니다!)🎯 닮음 문제 해결 제1원칙: 도형 안에 크고 작은 삼각형이 겹쳐 있으면 '공통으로 끼어 있는 각' 하나와 문제에 주어진 '같은 각(또는 직각, 평행선 동위각·엇각)' 하나를 찾아 AA 닮음을 만든 뒤, 작은 삼각형을 밖으로 똑같은 방향으로 돌려 다시 그려서 대응변의 비를 세우세요!

2. 핵심 공식 유도 및 성질: 평행선 선분비, 각의 이등분선 정리, 넓이비·부피비

1) 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비: △ABC\triangle ABC에서 변 BCBC에 평행한 직선이 두 변 AB,ACAB, AC와 만나는 점을 D,ED, E라 하면(DE‾∥BC‾\overline{DE} \parallel \overline{BC}), 동위각이 같아 △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC (AA 닮음)가 성립하므로:
AD‾:AB‾=AE‾:AC‾=DE‾:BC‾및AD‾:DB‾=AE‾:EC‾\overline{AD} : \overline{AB} = \overline{AE} : \overline{AC} = \overline{DE} : \overline{BC} \qquad \text{및} \qquad \overline{AD} : \overline{DB} = \overline{AE} : \overline{EC}
- 특히 두 변의 중점을 연결하면(1:21:2 닮음) 삼각형의 중점연결정리에 의해 DE‾=12BC‾\overline{DE} = \frac{1}{2}\overline{BC}가 됩니다. 2) 삼각형의 내각의 이등분선 정리 (고등 수학까지 쓰이는 필수 공식): △ABC\triangle ABC에서 ∠A\angle A의 이등분선이 대변 BCBC와 만나는 점을 DD라 하면, 양옆 두 변의 길이의 비가 밑변을 쪼개는 비와 같습니다(하트 공식 ♡\heartsuit):
AB‾:AC‾=BD‾:CD‾\overline{AB} : \overline{AC} = \overline{BD} : \overline{CD}
3) 닮음비(m:nm : n)에 따른 둘레비·넓이비·부피비의 거듭제곱 법칙: 서로 닮은 두 도형의 닮음비(길이의 비)가 m:nm : n일 때: - 둘레의 길이의 비 (1차원): m:nm : n - 넓이(겉넓이)의 비 (2차원): m2:n2m^2 : n^2 - 부피의 비 (3차원): m3:n3m^3 : n^3

예제로 살펴보기

ΔABC에서 AB = 12cm, AC = 8cm, BC = 10cm 이고 ∠A의 이등분선이 변 BC와 만나는 점을 D라 할 때 선분 BD의 길이와, ΔABD와 ΔACD의 넓이의 비를 구하시오.
  1. 1) [내각의 이등분선 정리 적용]: AB : AC = BD : CD 이므로 12 : 8 = 3 : 2 입니다. 따라서 점 D는 변 BC(10cm)를 3 : 2 로 내분하므로 BD = 10 × (3 / (3 + 2)) = 10 × (3/5) = 6cm 입니다. 2) [넓이의 비 구하기]: ΔABD와 ΔACD는 서로 닮음인 도형이 아니라 '높이가 같은 두 삼각형'입니다! 높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비(BD : CD)와 그대로 같으므로 3²:2² 이 아니라 3 : 2 입니다.
확인: 삼각형의 닮음 조건은 SSS, SAS, AA의 3가지이며, 실전에서는 두 각이 같은 AA 닮음이 가장 많이 쓰인다.

3. 심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 밑변비 vs 전체 삼각형비, 높이가 같은 삼각형 함정

닮음 단원에서 학생들이 가장 많이 낚이는 3대 실전 함정을 완벽히 구분해야 합니다! 함정 1 (오답률 1위): 평행선에서 옆변의 조각비(AD‾:DB‾\overline{AD} : \overline{DB})로 평행선 밑변(DE‾:BC‾\overline{DE} : \overline{BC})을 구하는 실수! DE‾∥BC‾\overline{DE} \parallel \overline{BC}일 때 AD‾:DB‾=2:3\overline{AD} : \overline{DB} = 2 : 3이면, DE‾:BC‾\overline{DE} : \overline{BC}도 2:32 : 3이라고 쓰면 무조건 틀립니다! - DE‾\overline{DE}와 BC‾\overline{BC}는 작은 삼각형 △ADE\triangle ADE와 큰 전체 삼각형 △ABC\triangle ABC의 대응변이므로, 옆변도 조각이 아니라 전체 길이인 AD‾:AB‾=2:(2+3)=2:5\overline{AD} : \overline{AB} = 2 : (2 + 3) = 2 : 5를 적용해야 합니다! 즉 DE‾:BC‾=2:5\overline{DE} : \overline{BC} = 2 : 5입니다. 함정 2: '닮음인 두 삼각형의 넓이비(m2:n2m^2 : n^2)'와 '높이가 같은 두 삼각형의 넓이비(m:nm : n)' 혼동! - 두 삼각형이 서로 닮음이면 밑변도 kk배, 높이도 kk배가 되므로 넓이비는 제곱인 m2:n2m^2 : n^2입니다. - 그러나 한 꼭짓점을 공유하고 밑변이 한 직선 위에 있는 두 삼각형(위 예제의 △ABD\triangle ABD와 △ACD\triangle ACD)은 닮음이 아니라 높이가 똑같은 삼각형이므로, 넓이비는 제곱하지 않고 밑변의 길이의 비 m:nm : n 그대로입니다! 함정 3: 사다리꼴과 모래시계(나비 모양) 교차 평행선 공식: 평행한 두 선분(길이 a,ba, b)의 양 끝을 대각선으로 크로스하여 연결하고 그 교점을 지나는 평행선 선분 xx를 그으면, a:ba : b 내분 성질에 의해 항상 조화평균의 절반 공식이 성립합니다:
x=aba+b(곱을 합으로 나눈 값!)x = \frac{ab}{a + b} \quad (\text{곱을 합으로 나눈 값!})
🚨 평행선 밑변 비율 절대 주의: 평행한 두 밑변 DE : BC 의 비를 구할 때는 절대 옆변의 아랫조각(DB)을 쓰면 안 됩니다! 반드시 꼭짓점 A에서 출발하는 '작은 삼각형 옆변 AD : 큰 삼각형 전체 옆변 AB' 의 비와 같다고 놓으세요!

참고 근거와 확인 범위

설명·예제·문제 구성 및 오류 수정 책임: 프리런. 위 자료는 표시한 주제를 확인하거나 더 읽기 위한 근거이며, 외부 기관의 공식 수업이나 감수본을 뜻하지 않습니다.

참고 자료 연결 점검: 2026-11-02. 제작 방식·검수 범위와 수정 기록에서 확인 범위를 볼 수 있습니다. 오류는 상단의 의견 보내기 또는 contact@freelearn.io로 알려 주세요.

이 단원의 개념서 읽기 →