함께 배우는 수업 · 수학

삼각형의 성질과 오심 (내심·외심·무게중심)

이등변삼각형과 직각삼각형의 합동(RHA·RHS)부터 삼각형의 중심인 외심(O), 내심(I), 무게중심(G)의 작도 원리와 각도·넓이·길이 비율 공식을 완벽히 마스터합니다.

이 수업에서 해 볼 일

  • 삼각형의 각과 중심의 정의를 이용해 성질을 판정한다

먼저 알면 좋은 것: 삼각형의 합동 조건(SSS, SAS, ASA) · 수직이등분선과 각의 이등분선 · 삼각형의 내각과 외각의 성질

오늘의 목표

가입 없이 시작할 수 있어요. 설명을 읽고, 함께 연습한 뒤, 처음 보는 문제에서 직접 확인합니다.

판단 과정과 비교 사례

삼각형 내각의 합은 180°다. 외각은 이웃하지 않은 두 내각의 합과 같으므로 내각과 외각을 혼동하지 않도록 그림에 표시한다.내심은 세 내각의 이등분선 교점으로 세 변까지 거리가 같다. 외심은 변의 수직이등분선 교점으로 세 꼭짓점까지 거리가 같다.무게중심은 세 중선의 교점이며 중선을 꼭짓점 쪽에서 2:1로 나눈다. 문제에서 거리를 재는 대상이 변인지 꼭짓점인지부터 보고 중심을 선택한다.

1. 개념 정의와 직관적 원리: 외심(O) vs 내심(I)의 결정적 비교

삼각형의 오심(외심, 내심, 무게중심, 수심, 방심) 중 중·고등 기하의 핵심인 외심(Circumcenter, OO)과 내심(Incenter, II)은 서로 완벽한 대칭 구조를 이루므로 반드시 짝지어 비교해야 합니다. 1) 삼각형의 외심 (OO) — 외접원의 중심: - 작도 정의: 삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점입니다. - 핵심 성질: 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리가 모두 같습니다 (OA‾=OB‾=OC‾=\overline{OA} = \overline{OB} = \overline{OC} = 외접원의 반지름 RR). - 외심의 위치 (빈출!): 예각삼각형은 삼각형의 내부, 둔각삼각형은 삼각형의 외부, 그리고 직각삼각형의 외심은 항상 '빗변의 중점'에 위치합니다! (따라서 직각삼각형에서 빗변의 길이는 외접원의 지름 2R2R과 같습니다!) 2) 삼각형의 내심 (II) — 내접원의 중심: - 작도 정의: 삼각형의 세 내각의 이등분선의 교점입니다. - 핵심 성질: 내심에서 세 변에 이르는(수선의) 거리가 모두 같습니다 (내접원의 반지름 rr). - 내심의 위치: 삼각형의 모양에 상관없이 언제나 삼각형의 내부에 위치합니다.🎯 직각삼각형의 외심은 도형 문제 0순위 치트키입니다! 직각삼각형이 나오면 무조건 '빗변의 중점 = 외심(O)'을 떠올리세요. 빗변의 중점에서 세 꼭짓점까지의 거리가 모두 같으므로 직각 꼭짓점과 이은 중선의 길이도 빗변의 절반(R)이 됩니다!

2. 핵심 공식 유도 및 성질: 외심·내심의 각도 공식, 내접원 넓이 공식, 무게중심(G)

1) 외심(OO)과 내심(II)에서의 중심각(∠BOC,∠BIC\angle BOC, \angle BIC) 공식: 꼭짓점 AA의 각을 ∠A\angle A라 할 때: - 외심 각도 공식: △OAB,△OBC,△OCA\triangle OAB, \triangle OBC, \triangle OCA가 꼭지각이 다른 이등변삼각형임을 이용하면 중심각은 꼭지각의 22배입니다:
∠BOC=2∠A\angle BOC = 2 \angle A
- 내심 각도 공식: 세 내각을 반씩 쪼갠 각의 합이 90∘90^\circ임을 이용하면 90∘90^\circ에 꼭지각의 절반을 더한 값이 됩니다:
∠BIC=90∘+12∠A\angle BIC = 90^\circ + \frac{1}{2} \angle A
2) 내접원의 반지름(rr)과 삼각형의 넓이(SS)·둘레 공식 (별표 5개): 내심 II와 세 꼭짓점을 연결하면 삼각형이 높이가 모두 내접원의 반지름 rr인 세 개의 삼각형으로 쪼개지므로, 세 변의 길이가 a,b,ca, b, c일 때:
S=12ar+12br+12cr=12r(a+b+c)S = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr = \frac{1}{2}r(a + b + c)
3) 삼각형의 무게중심 (Centroid, GG): 세 꼭짓점과 마주 보는 대변의 중점을 이은 세 중선(Median)의 교점입니다. - 무게중심은 세 중선의 길이를 꼭짓점으로부터 각각 2:12 : 1로 내분합니다. - 세 중선에 의해 쪼개진 66개의 작은 삼각형의 넓이는 모두 전체 넓이의 16\frac{1}{6}로 똑같습니다!

예제로 살펴보기

세 변의 길이가 각각 6cm, 8cm, 10cm인 직각삼각형 ABC의 외접원의 반지름 R과 내접원의 반지름 r, 그리고 꼭짓점 C(직각)에서 무게중심 G까지의 거리 CG를 구하시오.
  1. 1) [외접원의 반지름 R]: 6² + 8² = 10² 이므로 빗변의 길이가 10cm인 직각삼각형입니다. 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 R = 10 ÷ 2 = 5cm 입니다. 2) [내접원의 반지름 r]: 직각삼각형의 넓이 S = (1/2) × 6 × 8 = 24cm² 입니다. 내접원 넓이 공식 S = (1/2)r(a + b + c) 에 대입하면 24 = (1/2)r(6 + 8 + 10) = 12r → r = 2cm 입니다. 3) [무게중심까지의 거리 CG]: 직각 꼭짓점 C에서 빗변의 중점(외심 O)까지 그은 중선의 길이는 외접원의 반지름과 같은 5cm입니다. 무게중심 G는 이 중선을 꼭짓점 C로부터 2:1로 내분하므로 CG = 5 × (2/3) = 10/3 cm 입니다.
확인: 외심(O)은 세 변의 수직이등분선의 교점으로 세 꼭짓점까지의 거리가 같으며, 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이다.

3. 심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 외심·내심 합동 조각 구분과 접선의 길이

1) 실전 오답 1위 함정 — 외심과 내심에서 합동인 직각삼각형 조각의 위치 혼동! 삼각형 내부의 점에서 세 변에 수선을 내리고 세 꼭짓점을 이으면 66개의 작은 직각삼각형이 생깁니다. 어디끼리 합동인지 그림으로 물어볼 때 절대 헷갈리지 마세요: - 외심(OO): 세 변의 수직이등분선이므로 한 변을 사이에 두고 나란히 붙어 있는 두 직각삼각형끼리 합동입니다! - 내심(II): 세 내각의 이등분선이므로 한 꼭짓점을 끼고 마주 붙어 있는 두 직각삼각형끼리 합동입니다! (따라서 한 꼭짓점에서 내접원에 그은 두 접선의 길이가 서로 같습니다.) 2) 직각삼각형에서 내접원의 반지름 rr 초고속 둘레 차 공식: 밑변 aa, 높이 bb, 빗변 cc인 직각삼각형에서 내접원과 직각 꼭짓점이 이루는 사각형은 한 변이 rr인 정사각형이 됩니다! 따라서 접선의 길이 성질에 의해 c=(a−r)+(b−r)c = (a - r) + (b - r)이 성립하여 넓이 공식 없이도 1초 만에 rr을 구할 수 있습니다:
r=a+b−c2(예: 6,8,10 직각삼각형에서 r=6+8−102=2)r = \frac{a + b - c}{2} \quad \left(\text{예: } 6, 8, 10 \text{ 직각삼각형에서 } r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = 2\right)
3) 오심의 일치: - 이등변삼각형에서는 외심, 내심, 무게중심이 모두 꼭지각의 이등분선(밑변의 수직이등분선) 일직선 위에 놓입니다. - 정삼각형에서는 외심, 내심, 무게중심(및 수심)이 모두 단 한 점으로 완전히 일치하며, 이때 외접원의 반지름 RR과 내접원의 반지름 rr의 비는 무게중심의 2:12:1 성질에 의해 항상 R:r=2:1R : r = 2 : 1이 됩니다!✏️ 외심·내심 5초 암기법: '외변내각(외심은 변의 수직이등분선, 내심은 각의 이등분선)' 그리고 '외꼭내변(외심은 꼭짓점까지 거리가 같고, 내심은 변까지 거리가 같다)' 네 글자씩만 외우면 모든 성질이 자동으로 유도됩니다!

참고 근거와 확인 범위

설명·예제·문제 구성 및 오류 수정 책임: 프리런. 위 자료는 표시한 주제를 확인하거나 더 읽기 위한 근거이며, 외부 기관의 공식 수업이나 감수본을 뜻하지 않습니다.

참고 자료 연결 점검: 2026-11-02. 제작 방식·검수 범위와 수정 기록에서 확인 범위를 볼 수 있습니다. 오류는 상단의 의견 보내기 또는 contact@freelearn.io로 알려 주세요.

이 단원의 개념서 읽기 →