함께 배우는 수업 · 수학

삼각비의 기초 (sin, cos, tan)

직각삼각형의 닮음에서 탄생한 삼각비(sin, cos, tan)의 정의와 0°~90° 특수각 삼각비 표, 사분원 위에서의 대소 관계, 그리고 삼각형의 넓이 공식(1/2 ab sin C)을 완벽히 마스터합니다.

이 수업에서 해 볼 일

  • 기준각에서 대변·인접변·빗변을 구별해 삼각비를 계산한다

먼저 알면 좋은 것: 피타고라스 정리 · 직각삼각형의 AA 닮음 · 제곱근의 계산과 분모의 유리화

오늘의 목표

가입 없이 시작할 수 있어요. 설명을 읽고, 함께 연습한 뒤, 처음 보는 문제에서 직접 확인합니다.

판단 과정과 비교 사례

직각삼각형의 삼각비는 기준각을 먼저 정해야 한다. sin은 대변/빗변, cos은 인접변/빗변, tan은 대변/인접변이다.기준각을 다른 예각으로 바꾸면 대변과 인접변의 역할이 바뀌지만 빗변은 그대로다. 그림의 위·아래 위치로 외우지 말고 각과의 관계로 변을 표시한다.높이를 구하는 문장제는 비율식에 실제 길이를 대입한다. 사다리 길이가 빗변인지 바닥 거리인지 확인하고 길이 단위를 맞춘다.

1. 개념 정의와 직관적 원리: 직각삼각형의 크기와 무관한 변의 비율

한 예각의 크기가 ∠A\angle A로 같은 모든 직각삼각형(∠C=90∘\angle C = 90^\circ)은 크기가 아무리 달라도 모두 AA 닮음입니다. 따라서 직각삼각형의 크기에 상관없이 각 ∠A\angle A의 크기만 정해지면 두 변의 길이의 비율은 항상 일정한 상수가 됩니다! 이 비율을 삼각비(Trigonometric Ratio)라고 합니다. ∠C=90∘\angle C = 90^\circ인 직각삼각형 ABCABC에서 ∠A,∠B,∠C\angle A, \angle B, \angle C의 대변의 길이를 각각 a,b,ca, b, c라 할 때, 기준각 AA에 대한 삼각비는 필기체 알파벳 s,c,ts, c, t를 그리는 방향으로 정의됩니다: - 사인(sin⁡A\sin A): 빗변에 대한 높이(∠A\angle A의 대변)의 비   ⟹  sin⁡A=높이빗변=ac\implies \sin A = \frac{\text{높이}}{\text{빗변}} = \frac{a}{c} - 코사인(cos⁡A\cos A): 빗변에 대한 밑변(∠A\angle A의 이웃변)의 비   ⟹  cos⁡A=밑변빗변=bc\implies \cos A = \frac{\text{밑변}}{\text{빗변}} = \frac{b}{c} - 탄젠트(tan⁡A\tan A): 밑변에 대한 높이의 비   ⟹  tan⁡A=높이밑변=ab\implies \tan A = \frac{\text{높이}}{\text{밑변}} = \frac{a}{b} 여기서 직선의 기울기 정의 (y증가량)/(x증가량)=(높이)/(밑변)(y\text{증가량})/(x\text{증가량}) = (\text{높이})/(\text{밑변})에 의해, 직선이 xx축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 θ\theta일 때 직선의 기울기는 곧 tan⁡θ\tan \theta와 같습니다!🎯 삼각비 세 개 중 단 하나만 알아도 나머지 두 개를 즉시 구할 수 있습니다! 예를 들어 sin A = 3/5 가 주어지면, 빗변이 5이고 높이가 3인 직각삼각형을 바로 그린 뒤 피타고라스 정리로 밑변 4를 구해 cos A = 4/5, tan A = 3/4 를 3초 만에 읽어내세요!

2. 핵심 공식 유도 및 성질: 특수각(0°, 30°, 45°, 60°, 90°) 삼각비 표와 사분원

1) 절대 암기해야 할 특수각(0∘,30∘,45∘,60∘,90∘0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ) 삼각비 값: 정삼각형을 반으로 자른 직각삼각형(30∘,60∘,90∘  ⟹  1:3:230^\circ, 60^\circ, 90^\circ \implies 1 : \sqrt{3} : 2)과 정사각형을 대각선으로 자른 직각삼각형(45∘,45∘,90∘  ⟹  1:1:245^\circ, 45^\circ, 90^\circ \implies 1 : 1 : \sqrt{2}), 그리고 반지름이 11인 사분원(단위원)으로부터 다음 표가 완성됩니다: - sin⁡θ\sin \theta (0∘→90∘0^\circ \to 90^\circ 갈수록 증가: 02→42\frac{\sqrt{0}}{2} \to \frac{\sqrt{4}}{2}):
sin⁡0∘=0,sin⁡30∘=12,sin⁡45∘=22,sin⁡60∘=32,sin⁡90∘=1\sin 0^\circ = 0, \quad \sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 90^\circ = 1
- cos⁡θ\cos \theta (0∘→90∘0^\circ \to 90^\circ 갈수록 감소: sin⁡\sin의 역순!):
cos⁡0∘=1,cos⁡30∘=32,cos⁡45∘=22,cos⁡60∘=12,cos⁡90∘=0\cos 0^\circ = 1, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \quad \cos 90^\circ = 0
- tan⁡θ\tan \theta (×3\times \sqrt{3}씩 증가):
tan⁡0∘=0,tan⁡30∘=13=33,tan⁡45∘=1,tan⁡60∘=3,(tan⁡90∘는 정의되지 않음)\tan 0^\circ = 0, \quad \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad \tan 45^\circ = 1, \quad \tan 60^\circ = \sqrt{3}, \quad (\tan 90^\circ \text{는 정의되지 않음})
2) 반지름이 11인 사분원에서의 선분 표현: 반지름이 11인 사분원에서 동경이 원과 만나는 점에서 내린 수선(분모가 11이 되는 직각삼각형)은 높이가 곧 sin⁡θ\sin\theta, 밑변이 곧 cos⁡θ\cos\theta가 되고, (1,0)(1, 0)에서의 접선과 만나는 높이가 tan⁡θ\tan\theta가 됩니다.

예제로 살펴보기

삼각비 혼합 식 (sin 60° × tan 30°) + (cos 45° ÷ sin 45°) - cos 0° + sin 90° 의 값을 계산하고, 두 변의 길이가 6cm, 8cm이고 그 끼인각이 60°인 삼각형의 넓이를 구하시오.
  1. 1) [삼각비 식 계산]: - sin 60° × tan 30° = (√3 / 2) × (1 / √3) = 1/2 - cos 45° ÷ sin 45° = (√2 / 2) ÷ (√2 / 2) = 1 - cos 0° = 1, sin 90° = 1 따라서 1/2 + 1 - 1 + 1 = 3/2 입니다. 2) [삼각형 넓이 공식 적용]: 두 변 a = 6, b = 8 과 끼인각 C = 60° 가 주어졌으므로 S = (1/2)ab sin C 공식을 씁니다. S = (1/2) × 6 × 8 × sin 60° = 24 × (√3 / 2) = 12√3 (cm²) 입니다.
확인: 직각삼각형에서 sin A = 높이/빗변, cos A = 밑변/빗변, tan A = 높이/밑변 이며, 직선의 기울기는 tan θ 이다.

3. 심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 45° 기준 대소 비교와 삼각형·사각형 넓이 공식

1) 0∘<θ<90∘0^\circ < \theta < 90^\circ에서 sin⁡θ,cos⁡θ,tan⁡θ\sin\theta, \cos\theta, \tan\theta의 대소 관계와 절댓값·루트 벗기기 함정: (sin⁡θ−cos⁡θ)2=∣sin⁡θ−cos⁡θ∣\sqrt{(\sin\theta - \cos\theta)^2} = |\sin\theta - \cos\theta| 꼴의 문제를 풀려면 45∘45^\circ를 경계로 누가 더 큰지 정확히 알아야 합니다: - 0∘<θ<45∘0^\circ < \theta < 45^\circ 일 때: 코사인이 사인보다 큽니다! (sin⁡θ<cos⁡θ\mathbf{\sin\theta < \cos\theta}) - θ=45∘\theta = 45^\circ 일 때: sin⁡45∘=cos⁡45∘=22<tan⁡45∘=1\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} < \tan 45^\circ = 1 - 45∘<θ<90∘45^\circ < \theta < 90^\circ 일 때: 탄젠트가 11을 넘어가며 압도적 1등이 되고, 사인이 코사인을 역전합니다!
cos⁡θ<sin⁡θ<1<tan⁡θ\mathbf{\cos\theta < \sin\theta < 1 < \tan\theta}
2) 삼각비를 이용한 도형의 넓이 3대 공식 (수능까지 직결): - 삼각형의 넓이 (두 변 a,ba, b와 끼인각 CC가 주어질 때):
S=12absin⁡C(만약 C가 둔각이면 sin⁡(180∘−C)를 곱함)S = \frac{1}{2} ab \sin C \quad \big(\text{만약 } C\text{가 둔각이면 } \sin(180^\circ - C)\text{를 곱함}\big)
- 평행사변형의 넓이 (이웃한 두 변 a,ba, b와 끼인각 θ\theta): 삼각형 22개이므로 12\frac{1}{2}이 사라져 S=absin⁡θS = ab \sin\theta - 일반 사각형의 넓이 (두 대각선의 길이 p,qp, q와 두 대각선이 이루는 각 θ\theta가 주어질 때 — 함정 주의!):
S=12pqsin⁡θ(대각선이 주어졌을 때는 다시 앞에 12이 붙습니다!)S = \frac{1}{2} pq \sin\theta \quad (\text{대각선이 주어졌을 때는 다시 앞에 } \frac{1}{2}\text{이 붙습니다!})
🚨 사각형 넓이 공식 1/2 유무 함정: 평행사변형의 '이웃한 두 변 a, b'가 주어지면 S = ab sinθ (1/2 없음!)이지만, 사각형의 '두 대각선 p, q'가 주어지면 S = (1/2)pq sinθ (1/2 있음!)입니다. 변인지 대각선인지 반드시 확인하세요!

참고 근거와 확인 범위

설명·예제·문제 구성 및 오류 수정 책임: 프리런. 위 자료는 표시한 주제를 확인하거나 더 읽기 위한 근거이며, 외부 기관의 공식 수업이나 감수본을 뜻하지 않습니다.

참고 자료 연결 점검: 2026-11-02. 제작 방식·검수 범위와 수정 기록에서 확인 범위를 볼 수 있습니다. 오류는 상단의 의견 보내기 또는 contact@freelearn.io로 알려 주세요.

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