함께 배우는 수업 · 수학

삼각함수의 그래프와 덧셈정리

호도법(Radian)과 단위원 위에서의 일반각 삼각함수 정의로부터 주기성과 대칭성, 삼각함수 사이의 항등식, 그리고 미적분학의 기초인 덧셈정리까지 완벽히 정복합니다.

이 수업에서 해 볼 일

  • 단위원과 덧셈정리로 각의 삼각함수 값을 구한다

먼저 알면 좋은 것: 중등 삼각비(sin, cos, tan) · 원의 방정식과 부채꼴의 호의 길이 · 함수의 평행이동과 대칭이동

오늘의 목표

가입 없이 시작할 수 있어요. 설명을 읽고, 함께 연습한 뒤, 처음 보는 문제에서 직접 확인합니다.

판단 과정과 비교 사례

라디안은 호 길이/반지름으로 정의한 각이다. 180°=π rad를 이용해 도 단위에 π/180을 곱한다.단위원에서 sin은 y좌표, cos은 x좌표와 연결된다. 사분면에 따른 부호를 먼저 정하고 기준각의 크기를 사용한다.sin(kx)의 주기는 x가 변할 때 내부 각이 2π 증가하도록 2π/(k의 절댓값)로 구한다. 덧셈정리는 두 함수값의 단순 합과 다르므로 곱과 부호를 함께 확인한다.

1. 개념 정의와 직관적 원리: 호도법(Radian)과 단위원 위의 삼각함수

1) 호도법(Radian Measure): 각의 크기를 60∘60^\circ처럼 도(Degree) 단위로 재면 실수 xx와 단위가 달라 미적분을 할 수 없습니다. 이에 반지름의 길이가 rr인 원에서 호의 길이가 반지름 rr과 같아질 때의 중심각의 크기를 11라디안(radian)으로 정의하는 호도법을 도입합니다. 원둘레 전체가 2πr2\pi r이므로 중심각 360∘360^\circ는 2π2\pi 라디안에 대응합니다:
π (라디안)=180∘⟺1라디안=180∘π,1∘=π180라디안\pi \text{ (라디안)} = 180^\circ \quad \Longleftrightarrow \quad 1\text{라디안} = \frac{180^\circ}{\pi}, \quad 1^\circ = \frac{\pi}{180}\text{라디안}
호도법으로 중심각 θ\theta를 나타내면 부채꼴의 호의 길이 ll과 넓이 SS 공식이 극도로 간결해집니다:
l=rθ,S=12r2θ=12rll = r\theta, \qquad S = \frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2}rl
2) 단위원(Unit Circle)을 통한 일반각 삼각함수의 정의: 중학교 삼각비는 0∘<θ<90∘0^\circ < \theta < 90^\circ에서만 정의되었지만, 좌표평면의 원점 중심 반지름 11인 단위원 위의 점 P(x,y)P(x, y)와 동경 OPOP가 이루는 일반각 θ\theta를 이용하면 모든 실수 θ\theta에 대해 삼각함수를 정의할 수 있습니다:
cos⁡θ=x (단위원 위의 x좌표),sin⁡θ=y (단위원 위의 y좌표),tan⁡θ=yx (동경의 기울기)\cos \theta = x \text{ (단위원 위의 } x\text{좌표)}, \quad \sin \theta = y \text{ (단위원 위의 } y\text{좌표)}, \quad \tan \theta = \frac{y}{x} \text{ (동경의 기울기)}
🎯 사분면별 삼각함수 부호 법칙 '얼싸탄코(All - sin - tan - cos)': 제1사분면은 모두(All) 양수(+), 제2사분면은 sin(y좌표)만 양수, 제3사분면은 tan(기울기)만 양수, 제4사분면은 cos(x좌표)만 양수입니다!

2. 핵심 공식 유도 및 성질: 삼각함수 항등식, 그래프의 주기, 그리고 덧셈정리

1) 삼각함수 사이의 기본 항등식: 단위원의 방정식 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1에 x=cos⁡θ,y=sin⁡θx = \cos\theta, y = \sin\theta를 대입하면 언제나 성립하는 절대 항등식이 도출됩니다:
sin⁡2θ+cos⁡2θ=1,tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,1+tan⁡2θ=sec⁡2θ=1cos⁡2θ\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1, \qquad \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \qquad 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}
2) 삼각함수 그래프의 최댓값·최솟값과 주기(Period): 일반적인 삼각함수 y=asin⁡(bx+c)+dy = a \sin(bx + c) + d (또는 cos⁡\cos)에 대하여: - 최댓값: ∣a∣+d|a| + d, \quad 최솟값: −∣a∣+d-|a| + d (aa의 부호와 상관없이 반드시 절댓값 ∣a∣|a|를 붙임!) - 사인·코사인의 주기: T=2π∣b∣T = \frac{2\pi}{|b|}, \quad 탄젠트의 주기: T=π∣b∣T = \frac{\pi}{|b|} 3) 삼각함수의 덧셈정리 (Addition Formulas): 두 각 α,β\alpha, \beta의 합과 차에 대한 삼각함수 공식(수능 미적분 필수 공식)입니다:
sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β(싸코 플마 코싸 — 부호 그대로)\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta \quad (\text{싸코 플마 코싸 — 부호 그대로})
cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β(코코 마플 싸싸 — 부호 반대!)\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta \quad (\text{코코 마플 싸싸 — 부호 반대!})
tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}

예제로 살펴보기

θ가 제3사분면의 각이고 sin⁡θ+cos⁡θ=−103\sin θ + \cos θ = -\frac{\sqrt{10}}{3}일 때, sin⁡θcos⁡θ\sin θ \cos θ의 값을 구하시오.
  1. 제3사분면에서 sin θ와 cos θ는 모두 음수입니다. 주어진 합의 크기 √10/3은 1과 √2 사이이므로 가능한 값입니다. 1) 양변을 제곱하면 (sin θ + cos θ)² = 10/9입니다. 2) sin²θ + cos²θ = 1을 사용하면 1 + 2 sin θ cos θ = 10/9입니다. 3) 따라서 sin θ cos θ = (10/9 - 1)/2 = 1/18입니다. 질문에서 요구하지 않은 sin θ - cos θ는 이 조건만으로 부호까지 하나로 정해지지 않습니다.
확인: 호도법에서 π 라디안 = 180° 이며, 단위원 위의 점 P(x, y)에서 x = cos θ, y = sin θ, y/x = tan θ 이다.

3. 심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 각 변환 공식(nπ/2 ± θ)과 대칭성 활용

1) 모든 각 변환을 하나로 끝내는 만능 공식 (π2×n±θ\frac{\pi}{2} \times n \pm \theta): sin⁡(π−θ)\sin(\pi - \theta), cos⁡(3π2+θ)\cos(\frac{3\pi}{2} + \theta) 같은 수십 개의 공식을 따로 외우지 말고 다음 2단계 규칙으로 통일하세요: - 1단계 (함수 종류 결정): π2×n±θ\frac{\pi}{2} \times n \pm \theta에서 정수 nn이 짝수(π,2π\pi, 2\pi 등)이면 함수가 그대로 유지(sin⁡→sin⁡,cos⁡→cos⁡\sin \to \sin, \cos \to \cos)되고, nn이 홀수(π2,3π2\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} 등)이면 함수가 반대로 바뀝니다(sin⁡↔cos⁡,tan⁡↔cot⁡\sin \leftrightarrow \cos, \tan \leftrightarrow \cot). - 2단계 (앞의 부호 결정): θ\theta를 무조건 예각으로 간주했을 때, 원래 주어진 각(π2n±θ\frac{\pi}{2}n \pm \theta)이 위치한 사분면에서의 '원래 삼각함수'의 부호(얼싸탄코)를 앞에 붙여줍니다! - 예: cos⁡(3π2−θ)\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right)   ⟹  \implies π2×3\frac{\pi}{2} \times 3으로 홀수이므로 sin⁡θ\sin\theta로 바뀌고, 3π2−θ\frac{3\pi}{2} - \theta는 제3사분면 각인데 원래 함수인 cos⁡\cos은 제3사분면에서 음수(−-)이므로 −sin⁡θ-\sin\theta가 됩니다! 2) 실전 빈출 함정 — 삼각방정식의 모든 실근의 합 구하기: 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi에서 방정식 sin⁡x=k\sin x = k (kk는 미지수 상수)를 만족하는 두 실근 α,β\alpha, \beta를 직접 구할 수 없을 때는 삼각함수 그래프의 대칭축을 이용합니다! - y=sin⁡xy = \sin x는 직선 x=π2x = \frac{\pi}{2} (또는 x=3π2x = \frac{3\pi}{2})에 대하여 좌우 대칭이므로, 두 교점의 중점이 대칭축 위에 있습니다:
α+β2=π2  ⟹  α+β=π\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\pi}{2} \implies \alpha + \beta = \pi
✏️ 삼각방정식 근의 합 치트키: 특수각이 아닌 상수 k에 대해 sin x = k 나 cos x = k 의 두 근 α, β의 합을 물으면 각을 구하려 하지 말고 그래프의 대칭축 x = m 을 찾아 'α + β = 2 × (대칭축)' 공식을 쓰세요!

참고 근거와 확인 범위

설명·예제·문제 구성 및 오류 수정 책임: 프리런. 위 자료는 표시한 주제를 확인하거나 더 읽기 위한 근거이며, 외부 기관의 공식 수업이나 감수본을 뜻하지 않습니다.

참고 자료 연결 점검: 2026-11-02. 제작 방식·검수 범위와 수정 기록에서 확인 범위를 볼 수 있습니다. 오류는 상단의 의견 보내기 또는 contact@freelearn.io로 알려 주세요.

이 단원의 개념서 읽기 →