함께 배우는 수업 · 수학

일차부등식과 연립일차방정식

부등식의 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때 부등호 방향이 반대로 뒤집히는 결정적 성질과 미지수 소거를 통한 연립방정식 해법을 정복합니다.

이 수업에서 해 볼 일

  • 음수로 나눌 때 부등호 방향을 바꾸어 해를 구한다

먼저 알면 좋은 것: 일차방정식의 해법과 이항 · 수직선 위의 정수와 유리수 대소 관계 · 등식의 성질

오늘의 목표

가입 없이 시작할 수 있어요. 설명을 읽고, 함께 연습한 뒤, 처음 보는 문제에서 직접 확인합니다.

판단 과정과 비교 사례

부등식도 양변에 같은 수를 더하거나 빼서 정리한다. 그러나 음수를 곱하거나 나누면 수직선의 순서가 뒤집혀 부등호 방향도 바뀐다.경계값이 포함되는지는 <와 ≤로 구별한다. 가장 큰 정수나 작은 정수를 물으면 실수 범위를 먼저 구한 뒤 경계의 포함 여부를 확인한다.연립된 범위는 공통으로 만족해야 한다. 세 부분 부등식에서는 가운데뿐 아니라 양끝에도 같은 연산을 적용한다.

1. 개념 정의와 직관적 원리: 부등호의 의미와 음수 곱셈 시 방향 역전

부등호(<,>,≤,≥<, >, \le, \ge)를 사용하여 수 또는 식의 대소 관계를 나타낸 식을 부등식(Inequality)이라고 합니다. 특히 국어 표현을 부등호로 바꿀 때 경계값 포함 여부를 정확히 구분해야 합니다: - x>ax > a: xx는 aa보다 크다 (aa 초과)   ⟹  \implies 수직선에서 빈 동그라미(∘\circ)로 표시 - x<ax < a: xx는 aa보다 작다 (aa 미만)   ⟹  \implies 수직선에서 빈 동그라미(∘\circ)로 표시 - x≥ax \ge a: xx는 aa보다 크거나 같다 (aa 이상, 작지 않다)   ⟹  \implies 채운 동그라미(∙\bullet)로 표시 - x≤ax \le a: xx는 aa보다 작거나 같다 (aa 이하, 크지 않다)   ⟹  \implies 채운 동그라미(∙\bullet)로 표시 부등식의 양변에 같은 수를 더하거나 뺄 때, 그리고 양수를 곱하거나 나눌 때는 부등호 방향이 그대로 유지됩니다. 그러나 양변에 음수(−-)를 곱하거나 나눌 때는 부등호의 방향이 반드시 반대로 뒤집힙니다! 왜 그럴까요? 수직선에서 2<52 < 5이지만 양변에 −1-1을 곱하면 원점 대칭 이동이 일어나 −2-2와 −5-5가 되는데, 음수에서는 원점에 가까운 −2-2가 −5-5보다 더 크므로 −2>−5-2 > -5로 대소 관계가 역전되기 때문입니다.🚨 시험 오답 1위: -2x < 6 을 풀 때 양변을 음수 -2로 나누면서 부등호를 그대로 두어 x < -3 으로 쓰는 실수! 음수로 곱하거나 나눌 때는 부등호 방향을 즉시 반대로 뒤집어 x > -3 으로 써야 합니다.

2. 핵심 공식 유도 및 성질: 일차부등식 해법과 연립방정식의 소거 원리

1) 일차부등식의 풀이 (ax>bax > b 등): 일차방정식과 똑같이 xx항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항(이항은 덧셈·뺄셈 원리이므로 부등호 방향 안 바뀜!)한 뒤 마지막에 xx의 계수 aa로 양변을 나눕니다:
a>0 일 때: ax>b  ⟹  x>ba(부등호 유지)a > 0 \text{ 일 때: } ax > b \implies x > \frac{b}{a} \quad (\text{부등호 유지})
a<0 일 때: ax>b  ⟹  x<ba(부등호 반대!)a < 0 \text{ 일 때: } ax > b \implies x < \frac{b}{a} \quad (\text{부등호 반대!})
2) 연립일차방정식(System of Linear Equations)의 2대 해법: 미지수가 22개(x,yx, y)인 두 일차방정식을 한 쌍으로 묶은 연립방정식의 핵심 전략은 미지수 1개를 없애(소거하여) 미지수가 1개인 일차방정식으로 만드는 것입니다: - 가감법(Elimination Method): 두 식에 적당한 수를 곱해 소거하려는 미지수의 계수의 절댓값을 같게 맞춘 후, 부호가 같으면 두 식을 빼고, 부호가 다르면 두 식을 더하여 한 문자를 없앱니다. - 대입법(Substitution Method): 한 식을 y=ax+by = ax + b (또는 x=cy+dx = cy + d) 꼴로 정리한 뒤, 다른 식의 yy 자리에 괄호를 쳐서 통째로 대입하여 풉니다.

예제로 살펴보기

일차부등식 3(x - 2) ≥ 5x + 4 의 해를 구하고, 연립방정식 { 2x + y = 7, 3x - 2y = 0 } 의 해 (x, y)를 구하시오.
  1. 1) [일차부등식 풀이]: 괄호를 풀면 3x - 6 ≥ 5x + 4 입니다. 5x를 좌변으로, -6을 우변으로 이항하면 3x - 5x ≥ 4 + 6 → -2x ≥ 10 입니다. 양변을 음수 -2로 나누면서 부등호 방향을 반대로 뒤집으면 x ≤ -5 입니다. 2) [연립방정식 풀이]: 첫째 식 2x + y = 7 의 양변에 2를 곱하면 4x + 2y = 14 입니다. 이를 둘째 식 3x - 2y = 0 과 변끼리 더하면(+2y와 -2y 소거): 7x = 14 → x = 2. x = 2를 첫째 식에 대입하면 2(2) + y = 7 → y = 3. 따라서 해는 (2, 3)입니다.
확인: 부등식의 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때만 부등호의 방향이 반대로 뒤집힌다 (이항할 때는 바뀌지 않는다).

3. 심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 미지수 계수 부호 판별과 정수 해 개수 조건

내신 고난도 문항으로 반드시 출제되는 2가지 심화 함정 유형을 완벽히 마스터합시다. 심화 1: 문자 계수 aa의 부호가 숨겨진 부등식 (ax+b>0ax + b > 0) "부등식 ax>2aax > 2a를 푸시오"라는 문제에서 무심코 aa로 약분하여 x>2x > 2라고 쓰면 오답입니다! 문자 aa가 양수인지 음수인지 알 수 없기 때문입니다. 특히 문제에서 "부등식 (a−b)x>2(a−b)(a - b)x > 2(a - b)의 해가 x<2x < 2이다"라고 주어졌다면, 양변을 (a−b)(a - b)로 나누었을 때 부등호 방향이 반대로 뒤집혔으므로 나누어준 수 (a−b)<0(a - b) < 0 (즉 a<ba < b)이라는 숨은 조건을 스스로 읽어내야 합니다! 심화 2 (최고난도 함정): 부등식을 만족하는 자연수(정수) xx의 개수가 주어질 때 등호(==) 판별 예를 들어 "일차부등식 x<ax < a를 만족하는 자연수 xx가 33개(1,2,31, 2, 3)일 때 상수 aa의 값의 범위를 구하시오"라는 문제를 봅시다: 1. 먼저 수직선 위에 해가 존재하도록 aa를 33과 44 사이에 찍어 대략적인 범위 3<a<43 < a < 4를 잡습니다. 2. 그 다음 경계값 a=3a = 3일 때와 a=4a = 4일 때를 직접 대입하여 등호(==)가 들어갈 수 있는지 테스트합니다: - 만약 a=3a = 3이면 부등식이 x<3x < 3이 되어 자연수가 1,21, 2 (2개)뿐이므로 탈락! - 만약 a=4a = 4이면 부등식이 x<4x < 4가 되어 자연수가 1,2,31, 2, 3 (3개)으로 조건을 만족하므로 합격! - 따라서 정확한 정답은 3<a≤43 < a \le 4가 됩니다.🎯 부등식 자연수 개수 문제 백발백중 공식: 먼저 수직선에 표시하여 '3 < a < 4' 처럼 틀을 잡은 뒤, 양 끝 숫자(3과 4)를 원래 부등식의 a 자리에 직접 대입해보아 조건을 만족하는 쪽에만 등호(≤)를 붙여주세요!

참고 근거와 확인 범위

설명·예제·문제 구성 및 오류 수정 책임: 프리런. 위 자료는 표시한 주제를 확인하거나 더 읽기 위한 근거이며, 외부 기관의 공식 수업이나 감수본을 뜻하지 않습니다.

참고 자료 연결 점검: 2026-11-02. 제작 방식·검수 범위와 수정 기록에서 확인 범위를 볼 수 있습니다. 오류는 상단의 의견 보내기 또는 contact@freelearn.io로 알려 주세요.

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