함께 배우는 수업 · 수학

소인수분해와 최대공약수·최소공배수

자연수를 더 이상 쪼갤 수 없는 근본 원소인 '소수(Prime Number)'들의 곱으로 분해하여 약수의 개수와 최대공약수·최소공배수의 구조를 꿰뚫어 봅니다.

이 수업에서 해 볼 일

소인수의 지수로 최대공약수와 최소공배수를 구한다

먼저 알면 좋은 것: 약수와 배수의 개념 · 거듭제곱 표기법(밑과 지수) · 자연수의 나눗셈

오늘의 목표

가입 없이 시작할 수 있어요. 설명을 읽고, 함께 연습한 뒤, 처음 보는 문제에서 직접 확인합니다.

판단 과정과 비교 사례

소인수분해는 자연수를 소수의 곱으로 나타내는 것이다. 작은 소수부터 나누되 같은 인수가 반복되는 횟수를 지수로 보존한다.최대공약수는 공통 소인수의 작은 지수, 최소공배수는 모든 소인수의 큰 지수를 취한다. ‘함께 나눌 수 있는 양’과 ‘다시 동시에 만나는 주기’를 구별한다.소수는 1과 자기 자신만을 양의 약수로 가지는 1보다 큰 수다. 홀수라는 사실만으로 소수라 하지 말고 작은 소수로 나누어지는지 확인한다.

1. 개념 정의와 직관적 원리: 수의 원자(Atom)인 소수와 산술의 기본정리

물질을 쪼개면 더 이상 분해되지 않는 화학 원소(수소, 산소 등)가 나오듯,

1

보다 큰 자연수를 곱셈으로 쪼개면 더 이상 분해되지 않는 수학의 기본 원소인 소수(Prime Number)가 나옵니다. 자연수는 약수의 개수에 따라 다음과 같이 정확히 세 종류로 분류됩니다: 1. $1$ (단위수): 약수가

1

자기 자신 단 $1$ 개뿐인 수입니다. 따라서 $1$ 은 소수도 아니고 합성수도 아닙니다! 2. 소수(Prime Number):

1

보다 큰 자연수 중에서 $1$ 과 자기 자신만을 약수로 가지는 수(약수가 정확히 $2$ 개인 수)입니다. - 예:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, \dots

3. 합성수(Composite Number):

1

보다 큰 자연수 중에서 소수가 아닌 수(약수가 $3$ 개 이상인 수)입니다. - 예:

4, 6, 8, 9, 10, 12, \dots

합성수를 오직 소수들만의 곱(거듭제곱 꼴)으로 나타내는 것을 소인수분해(Prime Factorization)라고 합니다. 산술의 기본정리(Fundamental Theorem of Arithmetic)에 의해,

1

보다 큰 모든 자연수는 곱하는 순서를 생각하지 않을 때 단 한 가지 방법(유일하게)으로만 소인수분해됩니다.🎯 소수 판별 2대 절대 상식: ① '1'은 소수도 합성수도 아닙니다. ② '2'는 가장 작은 소수이자 모든 소수 중 유일한 짝수입니다! (2를 제외한 모든 소수는 홀수입니다.)

2. 핵심 공식 유도 및 성질: 약수의 개수 공식과 최대공약수(G)·최소공배수(L)

1) 소인수분해를 이용한 약수의 개수 공식: 자연수

N

이

N = a^m \times b^n \times c^k

(

a, b, c

는 서로 다른 소수)로 소인수분해될 때,

N

의 약수는

a^m

의 약수

(1, a, a^2, \dots, a^m)

중 하나(

m+1

가지),

b^n

의 약수 중 하나(

n+1

가지),

c^k

의 약수 중 하나(

k+1

가지)를 골라 곱한 것입니다. 따라서:

(\text{약수의 총개수}) = (m + 1) \times (n + 1) \times (k + 1)

예를 들어

72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2

이므로,

72

의 약수의 개수는 지수에 각각

1

을 더하여 곱한

(3 + 1) \times (2 + 1) = 4 \times 3 = \mathbf{12}

개입니다. 2) 소인수분해를 이용한 최대공약수( $G$ )와 최소공배수( $L$ ) 구하기: 두 수를 소인수분해하여 밑이 같은 거듭제곱끼리 나란히 비교할 때: - 최대공약수(GCD, $G$ ): 공통인 소인수만 골라, 지수가 작거나 같은 쪽을 택해 곱합니다. (최대공약수가

1

인 두 자연수를 서로소(Coprime)라고 합니다.) - 최소공배수(LCM, $L$ ): 공통인 소인수와 공통이 아닌 소인수를 모두 골라, 지수가 크거나 같은 쪽을 택해 곱합니다.

예제로 살펴보기

두 자연수 A = 2³ × 3 × 5 와 B = 2² × 3² × 7 의 최대공약수(G)와 최소공배수(L)를 소인수분해 거듭제곱 꼴로 구하시오.

1) 소인수별로 비교합니다: - 소인수 2: 2³ 과 2² 중 작은 것은 2², 큰 것은 2³ - 소인수 3: 3¹ 과 3² 중 작은 것은 3¹, 큰 것은 3² - 소인수 5와 7: 공통 소인수가 아니므로 G에는 포함되지 않고, L에는 모두 포함됩니다. 2) 최대공약수 G = 2² × 3 = 12 3) 최소공배수 L = 2³ × 3² × 5 × 7 = 2,520 입니다.

확인: 1은 소수도 합성수도 아니며, 2는 유일한 짝수 소수이다.

3. 심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 제곱수 만들기와 A×B = G×L 관계식

중등 내신 시험에서 거의

100\%

출제되는 두 가지 심화 유형과 오답 함정을 완벽히 정복합시다. 심화 1: 어떤 자연수의 제곱(완전제곱수) 만들기 어떤 자연수가 제곱수(

K^2

)가 되기 위한 필요충분조건은 소인수분해했을 때 모든 소인수의 지수가 '짝수'가 되는 것입니다! - 예: "

45

에 가장 작은 자연수

x

를 곱하여 어떤 자연수의 제곱이 되게 하려 한다.

x

의 값은?" -

45 = 3^2 \times 5^1

로 소인수분해합니다. -

3

의 지수는

2

(짝수)로 이미 조건을 만족하지만,

5

의 지수는

1

(홀수)입니다. - 따라서 지수를 모두 짝수로 만들기 위해 곱해야 할 가장 작은 자연수는 $x = 5$ 입니다. (이때 결과는

3^2 \times 5^2 = (3 \times 5)^2 = 15^2

이 됩니다.) - 반대로 약수의 개수가 홀수 개인 수는 오직 완전제곱수뿐입니다! (모든 지수가 짝수

2m

이면

(2m+1)

들의 곱이 되어 홀수가 되기 때문입니다.) 심화 2: 두 자연수 $A, B$ 와 최대공약수 $G$ , 최소공배수 $L$ 의 황금 관계식 최대공약수가

G

인 두 자연수

A, B

는 서로소인 두 자연수

a, b

에 대하여

A = G \times a

B = G \times b

로 놓을 수 있습니다. 이때 최소공배수는

L = G \times a \times b

가 되므로, 두 수의 곱은 항상 다음 등식을 만족합니다:

A \times B = (G \times a) \times (G \times b) = G \times (G \times a \times b) = G \times L

빈출 함정 주의: "두 수가 서로소이면 둘 다 소수이다"라는 명제는 거짓입니다! 예를 들어

8(=2^3)

과

9(=3^2)

는 둘 다 합성수이지만 공약수가

1

뿐이므로 서로소입니다.✏️ 문장제 키워드 판별법: '가능한 한 많은 사람에게 똑같이 나누어 준다 / 가장 큰 정사각형 타일로 빈틈없이 채운다' → 최대공약수(G) 문제! '동시에 다시 출발한다 / 가장 작은 정사각형을 만든다' → 최소공배수(L) 문제!

참고 근거와 확인 범위

OpenStax · Prealgebra 2E · 2.5 Prime Factorization and the Least Common Multiple ↗
소인수분해와 최소공배수

설명·예제·문제 구성 및 오류 수정 책임: 프리런. 위 자료는 표시한 주제를 확인하거나 더 읽기 위한 근거이며, 외부 기관의 공식 수업이나 감수본을 뜻하지 않습니다.

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