함께 배우는 수업 · 수학

피타고라스 정리와 삼각비

직각삼각형의 세 변의 길이 관계를 규명한 인류 역사상 가장 위대한 피타고라스 정리(a²+b²=c²)와 각에 따른 변의 비율인 삼각비(sin, cos, tan)를 마스터합니다.

이 수업에서 해 볼 일

  • 직각 조건과 빗변을 확인하고 피타고라스 정리를 적용한다

먼저 알면 좋은 것: 제곱근과 실수의 연산 · 삼각형의 닮음 조건(AA, SAS, SSS) · 직각삼각형의 합동(RHA, RHS)

오늘의 목표

가입 없이 시작할 수 있어요. 설명을 읽고, 함께 연습한 뒤, 처음 보는 문제에서 직접 확인합니다.

판단 과정과 비교 사례

피타고라스 정리는 직각삼각형에서 두 직각변 제곱의 합이 빗변 제곱과 같다는 관계다. 먼저 직각과 마주 보는 가장 긴 변을 찾는다.빗변을 구할 때는 제곱을 더하고 제곱근을 취한다. 직각변 하나를 구할 때는 빗변 제곱에서 다른 직각변 제곱을 빼므로 상황에 따라 식이 다르다.세 변으로 직각 여부를 판단할 때는 가장 긴 변의 제곱과 나머지 둘의 제곱 합을 비교한다. 삼각형이 존재하는 조건과 직각인 조건은 구별한다.

1. 개념 정의와 직관적 원리: 피타고라스 정리와 유클리드 넓이 증명

직각삼각형에서 직각(90∘90^\circ)을 낀 두 변의 길이를 각각 a,ba, b라 하고, 직각과 마주 보는 가장 긴 변인 빗변(Hypotenuse)의 길이를 cc라고 할 때, 다음 등식이 항상 성립합니다:
a2+b2=c2⟺c=a2+b2a^2 + b^2 = c^2 \quad \Longleftrightarrow \quad c = \sqrt{a^2 + b^2}
이 정리의 기하학적 의미는 직각삼각형의 세 변을 각각 한 변으로 하는 세 정사각형을 그렸을 때, 작은 두 정사각형의 넓이의 합(a2+b2a^2 + b^2)이 빗변 위에 그린 가장 큰 정사각형의 넓이(c2c^2)와 정확히 같다는 것입니다(유클리드의 증명). 역으로 세 변의 길이가 a,b,ca, b, c (cc가 가장 긴 변)인 삼각형에서 변의 길이의 제곱을 비교하면 삼각형의 모양(예각·직각·둔각)을 즉시 판별할 수 있습니다: - a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2   ⟹  \implies cc가 빗변인 직각삼각형 (∠C=90∘\angle C = 90^\circ) - a2+b2>c2a^2 + b^2 > c^2   ⟹  \implies 가장 긴 변 cc가 짧아졌으므로 예각삼각형 (∠C<90∘\angle C < 90^\circ) - a2+b2<c2a^2 + b^2 < c^2   ⟹  \implies 가장 긴 변 cc가 벌어졌으므로 둔각삼각형 (∠C>90∘\angle C > 90^\circ)🎯 시험 시간을 10배 단축하는 필수 암기 '피타고라스 수(자연수 쌍)': (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25) 및 그 배수들인 (6, 8, 10), (9, 12, 15)를 외워두면 제곱근 계산 없이 1초 만에 변의 길이를 구할 수 있습니다!

2. 핵심 공식 유도 및 성질: 직각삼각형의 사영 정리와 삼각비(sin, cos, tan)

1) 직각삼각형의 닮음(소 공식) 4대 공식: ∠A=90∘\angle A = 90^\circ인 직각삼각형 ABCABC의 꼭짓점 AA에서 빗변 BCBC에 내린 수선의 발을 HH라 하면, 세 직각삼각형이 모두 닮음이 되어 다음 공식이 성립합니다: - AB‾2=BH‾×BC‾\overline{AB}^2 = \overline{BH} \times \overline{BC} (왼쪽 변의 제곱 == 가까운 조각 ×\times 전체 빗변) - AC‾2=CH‾×BC‾\overline{AC}^2 = \overline{CH} \times \overline{BC} (오른쪽 변의 제곱 == 가까운 조각 ×\times 전체 빗변) - AH‾2=BH‾×CH‾\overline{AH}^2 = \overline{BH} \times \overline{CH} (높이의 제곱 == 왼쪽 조각 ×\times 오른쪽 조각) - AB‾×AC‾=BC‾×AH‾\overline{AB} \times \overline{AC} = \overline{BC} \times \overline{AH} (넓이 공식에서 유래한 '소(牛)' 글자 모양 공식) 2) 삼각비(Trigonometric Ratios)의 정의: ∠C=90∘\angle C = 90^\circ인 직각삼각형에서 기준각 AA에 대하여 세 변의 길이의 비율은 삼각형의 크기와 무관하게 일정합니다: - 사인(sin⁡A\sin A): 대변(높이)빗변=ac\frac{\text{대변(높이)}}{\text{빗변}} = \frac{a}{c} - 코사인(cos⁡A\cos A): 이웃변(밑변)빗변=bc\frac{\text{이웃변(밑변)}}{\text{빗변}} = \frac{b}{c} - 탄젠트(tan⁡A\tan A): 대변(높이)이웃변(밑변)=ab=sin⁡Acos⁡A\frac{\text{대변(높이)}}{\text{이웃변(밑변)}} = \frac{a}{b} = \frac{\sin A}{\cos A} 특수각(30∘,45∘,60∘30^\circ, 45^\circ, 60^\circ)의 직각삼각형의 세 변의 길이 비인 1:3:21 : \sqrt{3} : 2 (30∘30^\circ-60∘60^\circ-90∘90^\circ)와 1:1:21 : 1 : \sqrt{2} (45∘45^\circ-45∘45^\circ-90∘90^\circ)로부터 특수각의 삼각비가 유도됩니다.

예제로 살펴보기

∠C = 90°인 직각삼각형 ABC에서 빗변 AB = 13, 밑변 BC = 12 일 때, 나머지 한 변 AC의 길이와 sin B, cos B, tan B의 값을 각각 구하시오.
  1. 1) 피타고라스 정리 AC² + 12² = 13² 에 의해 AC² = 169 - 144 = 25 이므로 AC = 5 입니다. (피타고라스 수 5, 12, 13 활용 가능) 2) 기준각 B의 입장에서 마주 보는 대변(높이)은 AC = 5 이고, 이웃한 밑변은 BC = 12, 빗변은 AB = 13 입니다. 3) 따라서 sin B = (높이)/(빗변) = 5/13, cos B = (밑변)/(빗변) = 12/13, tan B = (높이)/(밑변) = 5/12 입니다.
확인: 직각삼각형에서 빗변의 제곱은 나머지 두 변의 제곱의 합과 같다 (a² + b² = c²).

3. 심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 기준각에 따른 밑변·높이 역전과 둔각삼각형 조건

실전 시험에서 학생들이 가장 많이 빠지는 2가지 치명적 함정을 반드시 숙지하세요. 함정 1: 기준각이 바뀌었을 때 '높이'와 '밑변'을 고정해 생각하는 실수 삼각비에서 '높이(대변)'는 무조건 위아래로 서 있는 변이 아니라, 기준각과 마주 보고 있는 변(Opposite side)을 뜻합니다! - 위 예제에서 ∠A\angle A를 기준으로 삼으면, ∠A\angle A와 마주 보는 BC‾=12\overline{BC} = 12가 높이가 되고 AC‾=5\overline{AC} = 5가 밑변이 되어 sin⁡A=1213=cos⁡B\sin A = \frac{12}{13} = \cos B가 됩니다. - 즉, 두 예각의 합이 90∘90^\circ(A+B=90∘A + B = 90^\circ)일 때 항상 sin⁡A=cos⁡(90∘−A)\sin A = \cos(90^\circ - A)가 성립합니다. 함정 2 (최고난도 빈출): 세 변의 길이가 3,4,x3, 4, x인 둔각삼각형 조건에서 삼각형 결정조건 누락 "세 변의 길이가 3,4,x3, 4, x (단, x>4x > 4)인 삼각형이 둔각삼각형이 되도록 하는 xx의 값의 범위를 구하시오"라는 문제에서: - 많은 학생들이 피타고라스 부등식 x2>32+42=25  ⟹  x>5x^2 > 3^2 + 4^2 = 25 \implies x > 5 만 적고 끝내서 틀립니다! - 애초에 세 선분이 삼각형을 이루기 위한 기본 조건(가장 긴 변의 길이는 나머지 두 변의 길이의 합보다 작아야 한다: x<3+4=7x < 3 + 4 = 7)을 반드시 교집합으로 묶어야 합니다! - 따라서 올바른 정답은 x>5x > 5가 아니라 5<x<75 < x < 7입니다.⚠️ 둔각삼각형 범위 문제 필수 체크: c² > a² + b² 만 풀면 100% 감점됩니다! 반드시 삼각형의 결정조건인 'c < a + b (가장 긴 변은 나머지 두 변의 합보다 작다)'를 함께 연립해야 합니다.

참고 근거와 확인 범위

설명·예제·문제 구성 및 오류 수정 책임: 프리런. 위 자료는 표시한 주제를 확인하거나 더 읽기 위한 근거이며, 외부 기관의 공식 수업이나 감수본을 뜻하지 않습니다.

참고 자료 연결 점검: 2026-11-02. 제작 방식·검수 범위와 수정 기록에서 확인 범위를 볼 수 있습니다. 오류는 상단의 의견 보내기 또는 contact@freelearn.io로 알려 주세요.

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